作业帮一道关于函数单调性的题目
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 20:11:18
一道关于函数单调性的题目
已知函数f(x)=x+1∕x(x≠0)
(1)证明函数f(x)在(0,1)上为减函数.
(2)证明函数f(x)在(1,+∞)上为增函数.
(3)求函数f(x)在(0,+∞)上的最小值.
已知函数f(x)=x+1∕x(x≠0)
(1)证明函数f(x)在(0,1)上为减函数.
(2)证明函数f(x)在(1,+∞)上为增函数.
(3)求函数f(x)在(0,+∞)上的最小值.
f(x)=x+1/x(x≠0）
f′(x)=1-1/(x^2)
令f′(x)＝0解得：x=±1
列表可得：
x∈（-∞,-1）时,f′(x)＞0,即f(x)递增
x∈（-1,0）时,f′(x)＜0,即f(x)递减
x∈（0,1）时,f′(x)＜0,即f(x)递减
x∈（1,+∞）时,f′(x)＞0,即f(x)递增
而x=±1时,f′(x)=0,即±1是f(x)的俩个极点
且画图像即可得到
∴f(x)在（0,1）上为减函数得证
f(x)在（1,+∞）上为增函数得证
∵f(x)在（0,+∞）上为先减后增
∴f(x)min=f(1)=2
∴f(x)在(0,+∞)上的最小值为2
f′(x)=1-1/(x^2)
令f′(x)＝0解得：x=±1
列表可得：
x∈（-∞,-1）时,f′(x)＞0,即f(x)递增
x∈（-1,0）时,f′(x)＜0,即f(x)递减
x∈（0,1）时,f′(x)＜0,即f(x)递减
x∈（1,+∞）时,f′(x)＞0,即f(x)递增
而x=±1时,f′(x)=0,即±1是f(x)的俩个极点
且画图像即可得到
∴f(x)在（0,1）上为减函数得证
f(x)在（1,+∞）上为增函数得证
∵f(x)在（0,+∞）上为先减后增
∴f(x)min=f(1)=2
∴f(x)在(0,+∞)上的最小值为2