设f(x)=∫<x,x+π/2>|sint|dt,求f(x)在区间[-41π/4,41π/4]上的最大值与最小值
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/03 01:07:25
设f(x)=∫<x,x+π/2>|sint|dt,求f(x)在区间[-41π/4,41π/4]上的最大值与最小值
sint的对称轴为x=π/2+kπ,k∈Z,对称中心为(kπ,0),k∈Z.
x+π/2-x=π/2,因而f(x)在R上的最大值与最小值分别为
f(π/2+kπ-(π/2)/2)=f(kπ+π/4),
f(kπ-(π/2)/2)=f(kπ-π/4).
令kπ+π/4∈[-41π/4,41π/4],
则解得k∈[-21/2,10],
令kπ-π/4∈[-41π/4,41π/4],
则解得k∈[-10,21/2],
所以k∈[-10,10],k∈Z.
因而f(x)在区间[-41π/4,41π/4]上的最大值与最小值就是f(x)在R上的最大值与最小值
maxf(x)=f(kπ+π/4)=∫<kπ+π/4,kπ+π/4+π/2>|sint|dt=∫<π/4,π/4+π/2>|sint|dt
=∫<π/4,3π/4>sintdt=-cos(3π/4)-(-cos(π/4))=√2/2+√2/2=√2
minf(x)=)=∫<kπ-π/4,kπ-π/4+π/2>|sint|dt=∫<-π/4,-π/4+π/2>|sint|dt
=∫<-π/4,π/4>|sint|dt=∫<-π/4,0>|sint|dt+∫<0,π/4>|sint|dt=2∫<0,π/4>sintdt
=2(-cos(π/4)-(-cos0))=2(-√2/2+1)=2-√2
f(x)在区间[-41π/4,41π/4]上的最大值为√2,最小值2-√2.
再问: 额,现在又知道了。现在觉得,结合图形来看,最大值就令x=π/4;最小值就令x=3π/4。呵呵,是吧!
再答: 嗯,是的啊,这样简便些,当然你也可以用纯代数方法做,要复杂些。
x+π/2-x=π/2,因而f(x)在R上的最大值与最小值分别为
f(π/2+kπ-(π/2)/2)=f(kπ+π/4),
f(kπ-(π/2)/2)=f(kπ-π/4).
令kπ+π/4∈[-41π/4,41π/4],
则解得k∈[-21/2,10],
令kπ-π/4∈[-41π/4,41π/4],
则解得k∈[-10,21/2],
所以k∈[-10,10],k∈Z.
因而f(x)在区间[-41π/4,41π/4]上的最大值与最小值就是f(x)在R上的最大值与最小值
maxf(x)=f(kπ+π/4)=∫<kπ+π/4,kπ+π/4+π/2>|sint|dt=∫<π/4,π/4+π/2>|sint|dt
=∫<π/4,3π/4>sintdt=-cos(3π/4)-(-cos(π/4))=√2/2+√2/2=√2
minf(x)=)=∫<kπ-π/4,kπ-π/4+π/2>|sint|dt=∫<-π/4,-π/4+π/2>|sint|dt
=∫<-π/4,π/4>|sint|dt=∫<-π/4,0>|sint|dt+∫<0,π/4>|sint|dt=2∫<0,π/4>sintdt
=2(-cos(π/4)-(-cos0))=2(-√2/2+1)=2-√2
f(x)在区间[-41π/4,41π/4]上的最大值为√2,最小值2-√2.
再问: 额,现在又知道了。现在觉得,结合图形来看,最大值就令x=π/4;最小值就令x=3π/4。呵呵,是吧!
再答: 嗯,是的啊,这样简便些,当然你也可以用纯代数方法做,要复杂些。
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