设A是n阶矩阵,A^2=E(1)试证A的特征值只能为1或-1(2)A能否相似对角化?若能,写出相应对角阵
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 06:29:53
设A是n阶矩阵,A^2=E(1)试证A的特征值只能为1或-1(2)A能否相似对角化?若能,写出相应对角阵
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(1) 假设λ是A的一个特征值,且λ≠±1,v为λ对应的特征向量
则 Av = λv,又A2=E
有 v=Ev=A2v=A(Av)=A(λv)=λ(Av)=λ2v
∴ (1-λ2)v = 0,由特征向量定义 v≠0
故 1-λ2=0,λ=±1
(2) 设 A+E=[u1,u2,...,un],A-E=[v1,v2,...,vn],则[u1-v1,u2-v2,...,un-vn]=2E
考虑矩阵M=[u1,u2,...,un,v1,v2,...,vn],M是n*2n的矩阵
对M作基本列变换可得M'=[u1-v1,u2-v2,...,un-vn,v1,v2,...,vn]
(u1-v1,u2-v2,...,un-vn)是M'的列向量的一组极大线性无关组
因此矩阵M的秩为n.
设(ur1,ur2,...,urx,vr1,vr2,...vry) (x+y=n)是M'的列向量的一组极大线性无关组
则矩阵T=[ur1,ur2,...,urx,vr1,vr2,...vry]是n阶满秩矩阵,矩阵T可逆.
由(A+E)vk=0,(A-E)uk=0可得:A*uk=uk,A*vk=-vk
AT=[A*ur1,A*ur2,...,A*urx,A*vr1,A*vr2,...,A*vry]
=[ur1,ur2,...,urx,-vr1,-vr2,...,-vry]
=[ur1,ur2,...,urx,vr1,vr2,...vry]*diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1) (x个1,y个-1)
=TD (D=diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1) (x个1,y个-1))
有D=T^(-1)AT
因此A可以相似对角化,相应对角阵为 D=diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1) (x个1,y个-1,x,y分别是1,-1的代数重数)
则 Av = λv,又A2=E
有 v=Ev=A2v=A(Av)=A(λv)=λ(Av)=λ2v
∴ (1-λ2)v = 0,由特征向量定义 v≠0
故 1-λ2=0,λ=±1
(2) 设 A+E=[u1,u2,...,un],A-E=[v1,v2,...,vn],则[u1-v1,u2-v2,...,un-vn]=2E
考虑矩阵M=[u1,u2,...,un,v1,v2,...,vn],M是n*2n的矩阵
对M作基本列变换可得M'=[u1-v1,u2-v2,...,un-vn,v1,v2,...,vn]
(u1-v1,u2-v2,...,un-vn)是M'的列向量的一组极大线性无关组
因此矩阵M的秩为n.
设(ur1,ur2,...,urx,vr1,vr2,...vry) (x+y=n)是M'的列向量的一组极大线性无关组
则矩阵T=[ur1,ur2,...,urx,vr1,vr2,...vry]是n阶满秩矩阵,矩阵T可逆.
由(A+E)vk=0,(A-E)uk=0可得:A*uk=uk,A*vk=-vk
AT=[A*ur1,A*ur2,...,A*urx,A*vr1,A*vr2,...,A*vry]
=[ur1,ur2,...,urx,-vr1,-vr2,...,-vry]
=[ur1,ur2,...,urx,vr1,vr2,...vry]*diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1) (x个1,y个-1)
=TD (D=diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1) (x个1,y个-1))
有D=T^(-1)AT
因此A可以相似对角化,相应对角阵为 D=diag(1,1,...,1,-1,-1,...,-1) (x个1,y个-1,x,y分别是1,-1的代数重数)
(1)若n阶矩阵A与n阶对角矩阵A相似.(2)n阶矩阵A有n个相异特征值.这两个是A可对角化的什么条件?
设n阶矩阵A满足A的2次方=E,证明A的特征值只能是正负1
若3阶方阵A的特征值为-1,0,1,则矩阵B=A³-A+2E的相似对角矩阵为?
一个可相似对角化的矩阵A,特征值是λ1,λ2……λn,
已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E求矩阵B特征值及与B相似的对角矩阵
矩阵A的特征值都为正负一,且可相似对角化,证明A^2=E
设n阶矩阵A满足A^2-3A+2E=0,证明A可相似对角化.
已知n阶矩阵A满足A^2-2A-3E=0,证明A的特征值只能是-1或3,怎么证明只能?
设m阶矩阵A满足A的平方 =A,证明:(1)A的特征值只能是1或0;(2)A+E
设A为n阶方阵,且满足A^2-3A+2E=0,证明A的特征值只能是1或2
设A为4阶方阵,其伴随矩阵的特征值为1,-2,-4,-8,证明A与对角矩阵相似,并写出对角矩阵的一种情况.
设N阶矩阵A满足A平方=E 证明A的特征值只能是正负1