已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)经过点M(√6,1)离心率为√2
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/29 07:00:09
已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)经过点M(√6,1)离心率为√2/2.(1)求椭圆标准方程.
(2)已知点P(√6,1),若AB为已知椭圆上的两动点,且满足PA(向量)乘PB(向量)=-2,试问直线AB是否过定点?若是,请证明,若不是,请说明理由.
(2)已知点P(√6,1),若AB为已知椭圆上的两动点,且满足PA(向量)乘PB(向量)=-2,试问直线AB是否过定点?若是,请证明,若不是,请说明理由.
(1)椭圆过点(√6,1),
∴6/a^2+1/b^2=1.
离心率c/a=1/√2,∴a^2=2c^2,b^2=c^2,代入上式得4/c^2=1,c^2=4,a^2=8,
∴椭圆的标准方程是x^2/8+y^2/4=1.
(2)设A(2√2cosu,2sinu),B(2√2cosv,2sinv),则
向量PA*PB=(2√2cosu-√6,2sinu-1)*(2√2cosv-√6,2sinv-1)
=(2√2cosu-√6)(2√2cosv-√6)+(2sinu-1)(2sinv-1)
=8cosucosv-4√3(cosu+cosv)+6+4sinusinv-2(sinu+sinv)+1=-2,
∴8cosucosv+4sinusinv-4√3(cosu+cosv)-2(sinu+sinv)+9=0,①
AB的斜率=(sinu-sinv)/[√2(cosu-cosv)],
AB的方程是y-2sinu=(sinu-sinv)(x-2√2cosu)/[√2(cosu-cosv)],
设AB过定点(m,n),则√2(cosu-cosv)(n-2sinu)=(sinu-sinv)(m-2√2cosu),
∴√2(cosu-cosv)n-(sinu-sinv)m+2√2(sinucosv-cosusinv)=0.②
不存在常数m,n,使得方程①、②同解,
∴AB不过定点.
∴6/a^2+1/b^2=1.
离心率c/a=1/√2,∴a^2=2c^2,b^2=c^2,代入上式得4/c^2=1,c^2=4,a^2=8,
∴椭圆的标准方程是x^2/8+y^2/4=1.
(2)设A(2√2cosu,2sinu),B(2√2cosv,2sinv),则
向量PA*PB=(2√2cosu-√6,2sinu-1)*(2√2cosv-√6,2sinv-1)
=(2√2cosu-√6)(2√2cosv-√6)+(2sinu-1)(2sinv-1)
=8cosucosv-4√3(cosu+cosv)+6+4sinusinv-2(sinu+sinv)+1=-2,
∴8cosucosv+4sinusinv-4√3(cosu+cosv)-2(sinu+sinv)+9=0,①
AB的斜率=(sinu-sinv)/[√2(cosu-cosv)],
AB的方程是y-2sinu=(sinu-sinv)(x-2√2cosu)/[√2(cosu-cosv)],
设AB过定点(m,n),则√2(cosu-cosv)(n-2sinu)=(sinu-sinv)(m-2√2cosu),
∴√2(cosu-cosv)n-(sinu-sinv)m+2√2(sinucosv-cosusinv)=0.②
不存在常数m,n,使得方程①、②同解,
∴AB不过定点.
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