设正有理数a、b、c满足条件a+b+c≤4且ab+bc+ca≥4是证下面的三个不等式至少有两个成立a
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 14:43:21
设正有理数a、b、c满足条件a+b+c≤4且ab+bc+ca≥4是证下面的三个不等式至少有两个成立a
∵a+b+c≤4
∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤16 ①
∵ab+bc+ca≥4 也即-(ab+bc+ca)≤-4 ②
①+3②a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc≤4
∴(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2≤8
下面用反正法.
1.若|a-b|≤2,|b-c|≤2,|c-a|≤2全不成立,
即|a-b|>2,|b-c|>2,|c-a|>2
则(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2=|a-b|^2+|b-c|^2+|a-b|^2>12与(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2≤8矛盾,不成立
2.若有两项不成立,不妨令|a-b|>2,|b-c|>2,|c-a|≤2
则(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2=|a-b|^2+|b-c|^2+|a-b|^2≥|a-b|^2+|b-c|^2>8与(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2≤8矛盾,不成立
3.综上所述,|a-b|≤2,|b-c|≤2,|c-a|≤2至少有两项成立.
先通过变形化出所求的式子,然后对于“至少”“至多”这类问题,多用反证法解决.
∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤16 ①
∵ab+bc+ca≥4 也即-(ab+bc+ca)≤-4 ②
①+3②a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc≤4
∴(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2≤8
下面用反正法.
1.若|a-b|≤2,|b-c|≤2,|c-a|≤2全不成立,
即|a-b|>2,|b-c|>2,|c-a|>2
则(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2=|a-b|^2+|b-c|^2+|a-b|^2>12与(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2≤8矛盾,不成立
2.若有两项不成立,不妨令|a-b|>2,|b-c|>2,|c-a|≤2
则(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2=|a-b|^2+|b-c|^2+|a-b|^2≥|a-b|^2+|b-c|^2>8与(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2≤8矛盾,不成立
3.综上所述,|a-b|≤2,|b-c|≤2,|c-a|≤2至少有两项成立.
先通过变形化出所求的式子,然后对于“至少”“至多”这类问题,多用反证法解决.
设正有理数a,b,c满足条件:a+b+c≤4且ab+bc+ca≥4.试证明:下面的三个不等式中至少有两个成立:(a-c)
设三个正实数a,b,c满足条件1/a+1/b+1/c=2.求证:a,b,c中至少有两个不小于1
设三个正实数a.b.c满足条件1\a+1\b+1\c=2求证:a.b.c 中至少有两个不小于1
已知实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1,不等式|a+b|≥k|c|恒成立.则实数k的最大值
已知a,b,c是三个有理数,且满足a+b+c=0,abc>0,ab>0.①判断a,b,c正负②判断ab+bc+ca的正负
已知a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,用综合法证明下列不等式成立的是
实数abc,满足a≤b≤c.且ab+bc+ca=0,abc=1.求最大的实数k,使式不等式/a+b/≥k/c/恒成立
设实数a,b,c不等于0,bc/a,ca/b,ab/c成等差数列,则下列不等式一定成立的是
设a>b>c,且a+b+c=3,则下列不等式恒成立的是 A.ab>bc B.ab>ac C.ac>bc D.a|b|>c
已知正整数a,b,c满足a>b>c,且ab+bc+ca=abc,求所有符合条件的 a,b,c
已知a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,用综合法证明下列不等式成立的是:①1/a+1/b+1/
已知a,b,c是有理数,且a+b+c=0,则a的平方+b的平方+c的平方-bc-ca-ab=