在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO垂直于BO.求证直线AB过定点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/07 13:35:31

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．则△AOB得重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为
y=3x^2+2/3
然直线AB的斜率存在,记为k,AB的方程记为：y=kx+b,（b≠0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,将直线方程代入y=x2得：x2-kx-b=0,则有：
△=k2+4b＞0①,x1+x2=k②,x1x2=-b③,又y1=x12,y2=x22
∴y1y2=b2；
∵AO⊥BO,∴x1x2+y1y2=0,
得：-b+b2=0且b≠0,
∴b=1,代入①验证,满足；
故y1+y2=k（x1+x2）+2=k2+2；
设△AOB的重心为G（x,y）,
则x=
x1+x2
3
=
k
3
④,y=
y1+y2
3
=
k2+2
3
⑤,
由④⑤两式消去参数k得：G的轨迹方程为y=3x2+
2
3
．
故答案为：y=3x2+
2
3
．

在平面直角坐标系XOY中,抛物线y=x^2上异于原点O的两动点A,B满足AO垂直于BO. 在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同点A，B满足OA⊥OB，则直线AB必过定点（　　） A.B是抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点且AO⊥BO,求三角形ABC重心轨迹方程 A.B是抛物线Y平方=4x上的2点,且满足OA垂直OB（O为原点）,求证：直线AB经过一个定点平面直角坐标系中,点O为坐标原点,已知点A的坐标（2,2）点B、C在Y轴上,BC=8,AB=AC,直线AB与X轴相交于点在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,已知点A的坐标（2,2）点B、C在Y轴上,BC=8,AB=AC,直线AB与X轴相交于平面直角坐标系中,点O为坐标原点,已知点A的坐标（2,2）点B、C在Y轴上,BC=8,AB=AC,直线AB与X轴相交于（2011•运河区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点．直线y=-x+b经过点A（2，1），AB⊥x轴于B 在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线E的方程为y^2=4x..过点P(4,0)的直线交抛物线E于C、D两点,求证以在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y^2=2x相交于A.B两点,求证:如果直线l过点T(3,0),那么向量OA·O 在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x-2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB过点A(-4,0),B(0,4)圆O的半径为1(O为坐标原点)