求举例:一个二元函数(或是三元函数)在某一点不可微,但是方向向量可求.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/14 12:01:33
求举例:一个二元函数(或是三元函数)在某一点不可微,但是方向向量可求.
如题,再求出方向向量.
如题,再求出方向向量.
例如函数f(x,y)=xy/√(x^2+y^2),(x,y)≠(0,0)
0 ,(x,y)=(0,0)
任取方向(cosα,sinα),则f(x,y)=f(tcosα,tsinα)=tcosαsinα,因此原点处沿该方向的方向导数=lim(tcosαsinα-0)/t(t趋于0)=cosαsinα,这样f在原点沿任意方向的方向导数存在.
下面证f在原点不可微,根据可微的定义,就是要证(x,y)趋于(0,0)时极限limf(x,y)/√(x^2+y^2)≠0,即证明limxy/(x^2+y^2)≠0,令y=kx,则极限=limkx^2/(x^2+k^2x^2)=k/(1+k^2),故沿不同的直线y=kx趋于原点时该极限的值不相同,因此这个极限不存在,自然更不等于0了,这就证明了f在原点不可微.
0 ,(x,y)=(0,0)
任取方向(cosα,sinα),则f(x,y)=f(tcosα,tsinα)=tcosαsinα,因此原点处沿该方向的方向导数=lim(tcosαsinα-0)/t(t趋于0)=cosαsinα,这样f在原点沿任意方向的方向导数存在.
下面证f在原点不可微,根据可微的定义,就是要证(x,y)趋于(0,0)时极限limf(x,y)/√(x^2+y^2)≠0,即证明limxy/(x^2+y^2)≠0,令y=kx,则极限=limkx^2/(x^2+k^2x^2)=k/(1+k^2),故沿不同的直线y=kx趋于原点时该极限的值不相同,因此这个极限不存在,自然更不等于0了,这就证明了f在原点不可微.
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