求每条边电阻都是2R的两个正方体组成的长方体的体对角线的等效电阻.

求每条边电阻都是2R的两个正方体组成的长方体的体对角线的等效电阻.

每条边的电阻2R,求体对角线AB的等效电阻

考虑 AB之间的电阻.注意到长方体关于平面ABC是对称的,所以对称的点电势应该相等,借Bourne_Lu的图来说,即
U2=U3,
U5=U6,
U9=U10
不妨用导线把这3对点分别连起来.这就相当于把整个立方体拍扁到平面ABC上了,得到一个“田”字形的网格.这个网格上下两边上每一小段是2r,其余各小段都是2个2r的电阻并联,所以电阻是2r/2=r.
中心记为点O,假设在A,B分别加电压U和-U,则由对称性知O点的电压是0,设“田”字左边中点为D,上边中点为E,它们的电压分别为UD,UE,则由4条支路上的电流在D,E处满足的关系可列方程：
(U-UD)/r =(UD-0)/r + (UD-UE)/(r+2r)
(UE-(-U))/(2r) =(UD-UE)/(r+2r)+(0-UE)/r
消去r并稍加整理,得
3U=7UD-UE
3U=2UD-11UE
从而可解出
UD =2U/5
UE =-U/5
于是从A发出竖直向上的电流I1和水平向右流入B的电流I2分别是
I1 = (U-UD)/r =3U/(5r)
I2 = (UE-(-U))/(2r) =2U/(5r)
注意到图形的旋转对称性,从A发出的水平向右的电流跟I2相等,所以从A发出的总电流
I = I1+I2 = U/r
故而总电阻
R = (U-(-U))/I = 2r
再问： 长方体关于平面ABC是对称的？不是吧。还整个立方体拍扁到平面ABC上了，得到一个“田”字形的网格。这个能否解释下，谢谢
再答： 你想象一根横截面是正方形的木头立在地上，沿着正方形的一条对角线用斧头劈开，劈成的两半是不是一模一样？所以说长方体关于ABC是对称的，这个ABC就是用斧头劈开的那个面。 既然是对称的，当电源接在对称轴上时（我们的问题里是接在A,B），对称性不会被破坏，所以对称点的电势就是相等的，中间连一根导线对电路没有影响，例如标U2处叫做D1, 标U3处叫做D2，这两点是对称的，所以U2=U3，可以把D1和D2用导线连起来，也就是说D1, D2在电路中可以看成同一个点D，D和C之间有两条并联的线路CD1和CD2，它们的电阻都是2r，并联之后可以看成一条线路CD，线路上的电阻是r，类似的AC之间的电阻也是r，这样就把正方形A-D1-C-D2"拍扁"成了一条直线A-D-C，其中AD和DC上的电阻都是r
再问： 嗯，还有一处不明白：由图形的旋转对称性，从A发出的水平向右的电流跟I2相等。这是为什么？高人继续指点下，谢谢
再答： 我们把A、B两点接到电源上，使A、B的电势分别是U和-U，则电路中会有电流，记从A水平向右流出的电流为IA，而水平向右流入B的电流为IB，下面我们证明IA=IB: 1）把A、B连接到电源上的电线交换一下，使A的电势是-U，B的电势是U，这时，电路上各点的电势都会相应的改变符号，电流也会反向流动，而保持电流的大小不变。于是水平向左流入A的电流是IA，从B水平向左流出的电流是IB。 2）在上面的基础上，我们把整个电路旋转180度（我们只是换个角度去看，电路中各点的电学性质都不变），于是旋转之后，A转到了右上角，电势仍为-U，IA是向右流入A的电流；B转到了左下角，IB是从B向右流出的电流。 3 ）把现在的电路跟我们原来的电路比较一下会发现，它们完全一样：左下角加的电势是U，右上角的电势是-U，电路中电阻的分布也完全相同，只是我们的新电路里，右上角叫做A，而流入A的电流是IA，在原来的电路里，这里的电流叫作IB，两个电路完全相同，所以IA=IB。
再问： 大神  确实是大神！不过我觉得可以直接用星三角变换呀，这是我算的，也是2欧，最后一点不明白望高人指点，就是大神的解法中有一句话：田字形网格中心记为点O，假设在A，B分别加电压U和-U，则由对称性知O点的电压是0。为什么是0呢？大神指点下我吧，分都给你了
再答： 1）的确用星形-三角形变换只要一个方程就可以解了，我记不得那个变换的公式，所以没用。 2）中心点电势为零的证明跟前面证明的IA=IB是一样的，我就不写了，留给你自己想吧。 3）你既然知道星形-三角形变换，或许也知道基尔霍夫定律，（Bourne_Lu的方法大概就是，我没细看，）这个方法更普遍、扎实，我的方法只是取巧而已，稍微把题目改一改，我的方法就不灵了。