在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-1）2+y2=16，圆C2：（x+1）2+y2=1，点S为圆C1上的一个动点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/02 19:58:46

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-1）2+y2=16，圆C2：（x+1）2+y2=1，点S为圆C1上的一个动点，现将�
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x-1）²+y²=16，圆C₂：（x+1）²+y²=1，点S为圆C₁上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心C₂（-1，0）恰与点S重合，折痕与直线SC₁交于点P．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过动点S作圆C₂的两条切线，切点分别为M、N，求MN的最小值；
（3）设过圆心C₂（-1，0）的直线交圆C₁于点A、B，以点A、B分别为切点的两条切线交于点Q，求证：点Q在定直线上．

（1）由题意得|PC₁|+|PC₂|=|PC₁|+|PS|=4＞|C₁C₂|，故P点的轨迹是以C₁、C₂为焦点，4为长轴长的椭圆，
则2a=4，c=1，所以a=2，b＝
3，故P点的轨迹方程是
x2
4+
y2
3＝1．（5分）
（2）法1（几何法）四边形SMC₂N的面积=
1
2SC2?MN＝
1
2SM?MC2×2＝SM，
所以MN＝
2SM
SC2＝2cos∠MSC2＝2
1?sin2∠MSC2＝2
1?
1
SC22，（9分）
从而SC₂取得最小值时，MN取得最小值，显然当S（-3，0）时，SC₂取得最小值2，
所以MNmin＝2
1?
1
4＝
3．（12分）
法2（代数法）设S（x₀，y₀），则以SC₂为直径的圆的标准方程为(x?
x0?1
2)2+(y?
y0
2)2＝(
x0+1
2)2+(
y0
2)2，
该方程与圆C₂的方程相减得，（x₀+1）x+y₀y+x₀=0，（8分）
则圆心C₂到直线MN的距离d＝
1

(x0+1)2+y02=
1

x02+y02+2x0+1，
因为(x0?1)2+y02＝16，所以x02+y02＝15+2x0，从而d＝
1

16+4x0，x₀∈[-3，5]，
故当x₀=-3时d_max=
1
2，
因为MN＝2
1?d2，所以MNmin＝2
1?(
1
2)2=
3．（12分）
（3）设Q（m，n），则“切点弦”AB的方程为（m-1）（x-1）+ny=16，
将点（-1，0）代入上式得m=-7，n∈R，故点Q在定直线x=-7上．（16分）