已知直线l:y= x+b交曲线C:y= x的二次方(a>0) 于P、Q 两点,M 为PQ中点,分别过P 、Q两点作曲线C

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/08/27 01:46:13

已知直线l:y= x+b交曲线C:y= x的二次方(a>0) 于P、Q 两点,M 为PQ中点,分别过P 、Q两点作曲线C的切线,
1) 求点M的轨迹方程
2) 求点N的轨迹方程
3)求证:MN中点必在曲线C 上

N应是两切线交点.
设P(x1,x1^2),Q(x2,x2^2).
y=x^2,y'=2x,故
切线PN的方程为：y-x1^2=2x1(x-x1),得y=x1(2x-x1),
切线QN的方程为：y-x2^2=2x2(x-x2),得y=x2(2x-x2),
联立得2x(x1-x2)=(x1+x2)(x1-x2)
因除了直线l: y= x+b与抛物线y=x^2相切（此时x^2-x-b=0,△=1+4b=0,得b=-1/4,x=1/2,y=1/4）,只要有两个交点的情况均有x1≠x2,故
当b>-1/4时,有x=(x1+x2)/2,则y=x1(2x-x1)=x1x2,也即N((x1+x2)/2,x1x2)
将y= x+b代入y=x^2得x^2-x-b=0,于是由韦达定理得
x1+x2=1
x1x2=-b
则M(x,y)满足
x=(x1+x2)/2=1/2
y=(x1^2+x2^2)/2=[(x1+x2)^2-2x1x2]/2=1/2+b.由于相切时b=-1/4,故要使有交点必须b≥-1/4,故y=1/2+b≥1/2-1/4=1/4
因此点M的轨迹方程为：x=1/2,y≥1/4
而N((x1+x2)/2,x1x2)即N(1/2,-b),故N点的轨迹方程为
x=1/2,y≤1/4
MN的中点为(1/2,(1/2+b-b)/2)也即(1/2,1/4),显然在曲线C上

已知圆C:x^2+(y-3)^2=4,一动直线l过点A(-1,0),且与圆C相交于P,Q两点,若M为线段PQ的中点,l与已知曲线C的方程:x^2+y^2-4x+2y+5m=0 若M=0,是否存在过点P(0,2)的直线l与曲线C交于A、B两点已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6 已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6= 直线L过点M(1,1),与椭圆x^2/16+y^2/4=1交于P,Q两点,已知线段PQ的中点横坐标为1/2,求直线L的方已知椭圆C的方程为：x^2+4y^2=16,过点A(0,3)作直线l和椭圆C相交于点P,Q.若PQ的中点M又在直线x+4 已知直线L与双9x^2-16y^2=144曲线相交于P、Q两点,且PQ的中点为A(8,3),求直线L的方程过点P(2,0)作倾斜角a为的直线L与曲线x^2+2y^2=1交于A、B两点已知P点(2,2),圆C：x^2+y^2-8y=0,过p的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点已知P点(2,2),圆C：x^2+y^2-8y=0,过p的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原已知抛物线y的平方=6x与定点A(6,0),过点A做直线L交抛物线于P,Q两点,求线段PQ中点M的轨迹方程. 过点(2,-1)作直线交双曲线2X^2-Y^2=2于P、Q两点,求线段PQ的中点M的轨迹方程