1月23日数学22题请教:
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 21:16:17
1月23日数学22题请教:
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/98/798f862b0663a6acba3d42e0858a692a.png)
请老师帮忙详细解答,非常感谢!
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解题思路: 前两问都利用导数;第三问,利用(1)中结论产生的不等式,对数列进行放缩法变形,归结为等比数列的求和问题。
解题过程:
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b5/1b5e04a12ff23fe06161db7f398be4cc.jpg)
解:(1) 由 f(x)=lnx-x+1, 得
(x>0),
可见,在(0, 1)、(1, +∞)上,分别有f ’(x)>0、<0,
∴ f(x)在(0, 1)、(1, +∞)上依次为单调递增、单调递减;
(2) 构造函数
,
求导,得
(m>0),
可见,在
上,分别有h ’(x)>0、<0,
∴ h(x)在
上依次为单调递增、单调递减,
∴ 在x=
处,h(x)取得它在(0, +∞)上的最大值![](http://img.wesiedu.com/upload/5/a6/5a6c2b378765397094377710c5856cb4.gif)
且 当
时,均有
, 所以:
① 若
,即
, 则 h(x)有两个零点;
② 若
,即
, 则 h(x)有一个零点;
③ 若
,即
, 则 h(x)没有零点,
综上所述,得以下最后的结论:
① 若
, 则 f(x)与g(x)的图象有两个交点;
② 若
, 则f(x)与g(x)的图象有一个交点;
③ 若
, 则f(x)与g(x)的图象没有交点;
(3) 当m=2时,
,又∵ f(x)=lnx-x+1
∴
,
由
,可知
, 得
,
假设
, 则得
,
由数学归纳法原理可知
(n∈N*)恒成立,
又由(1)可知,f(x)=lnx-x+1≤f(1)=0恒成立, ∴ lnx≤x-1,
∴
,
∴
, ∴
,
又
,
∴
【类比等比数列的知识,但这里换成了“≥” 】,
∴
.
解题过程:
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b5/1b5e04a12ff23fe06161db7f398be4cc.jpg)
解:(1) 由 f(x)=lnx-x+1, 得
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/ea/6ea3f133678abb4b3ce5d572bb252973.gif)
可见,在(0, 1)、(1, +∞)上,分别有f ’(x)>0、<0,
∴ f(x)在(0, 1)、(1, +∞)上依次为单调递增、单调递减;
(2) 构造函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/ad/0adab2bd545abfa66cffe3709f904564.gif)
求导,得
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/9a/59a4924bda2a41a374205c9c75c47448.gif)
可见,在
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/57/f5764ce1bf44eb44cb6754f470fea914.gif)
∴ h(x)在
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/57/f5764ce1bf44eb44cb6754f470fea914.gif)
∴ 在x=
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/c0/4c00d7887f34567cb7b05d32e3309382.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/a6/5a6c2b378765397094377710c5856cb4.gif)
且 当
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/e5/1e585ee0201290bdb7743f2afc394d72.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/6b/f6b60977f2ebe660e1a111535cb8a9a1.gif)
① 若
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/38/e38bfdc4e127f1084b6f6e1f8e4d72be.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/58/15818281076aec64ee8a2e104b4d1b59.gif)
② 若
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/9b/99b0701e6f8c66c7283f93073fc6ac94.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/8b/28bf11cd45a86c6572e6e0e6ad3470f7.gif)
③ 若
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/79/479f07d20547e035f233c2e50514b190.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/37/53780200b5c9f4d68d8886711a3c0892.gif)
综上所述,得以下最后的结论:
① 若
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/58/15818281076aec64ee8a2e104b4d1b59.gif)
② 若
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/8b/28bf11cd45a86c6572e6e0e6ad3470f7.gif)
③ 若
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/37/53780200b5c9f4d68d8886711a3c0892.gif)
(3) 当m=2时,
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/16/f161d9f1ba0ebfd8a1946478b2c345af.gif)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/ef/0ef4014c9ba0c7bb4dd90c4c78416ac1.gif)
由
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/b3/cb3d52925faf2ead894e3d44efcd253f.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/7a/47a498db6d4b378d2a3629f8cf3bd3ca.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/ba/3ba183d32373b405c954daf516899ad2.gif)
假设
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/b5/3b5187f426a02bb548843a81d2ebebba.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/ec/aec4ad9361660172873e8b96a48ab1f2.gif)
由数学归纳法原理可知
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/1c/11c7be2af9c31f5a319241316008925f.gif)
又由(1)可知,f(x)=lnx-x+1≤f(1)=0恒成立, ∴ lnx≤x-1,
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/11/411871d8c63ae96bf366868a2cc32bc4.gif)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/63/d63db351464e62e208ab98f317fbac4b.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/31/8312571a0172d4aed91eccb20012ba58.gif)
又
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/2b/e2bfb0f01121e8a4d209feb41723a81f.gif)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/e1/2e1e3efc69a57b6e2d407e6d5871341e.gif)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/d7/0d7060d41bf414164e02b78f695a7dab.gif)