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如图,在△ABC中,D为BC的中点,点E、F分别在边AC、AB上,并且∠ABE=∠ACF,BE、CF交于点O.过点O作O

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/18 04:41:09
如图,在△ABC中,D为BC的中点,点E、F分别在边AC、AB上,并且∠ABE=∠ACF,BE、CF交于点O.过点O作OP⊥AC,OQ⊥AB,P、Q为垂足.求证:DP=DQ.
证明:如图,取OB中点M,OC中点N,连接MD,MQ,DN,PN.
∵D为BC的中点
∴DM∥OC,DM=
1
2OC,DN∥OB,DN=
1
2OB.
∵在Rt△BOQ和Rt△OCP中,QM=
1
2OB,PN=
1
2OC.
∴DM=PN,QM=DN.∠QMD=∠QMO+∠OMD=2∠ABO+∠FOB,
∠PND=∠PNO+∠OND=2∠ACO+∠EOC.
∵∠ABO=∠ACO,∠FOB=∠EOC,
∴∠QMD=∠PND.
∴△QMD≌△DNP,
∴DQ=DP.