（2012•鸡西）Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A、B的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/04 02:26:28

（2012•鸡西）Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A、B的一点,且∠ACP=30°,则PB的长为

这道题的考点是：含30度角的直角三角形；勾股定理．
专题：分类讨论．
分析：分两种情况考虑：当∠ABC=60°时,如图所示,由∠ABC=60°,利用直角三角形的两锐角互余求出∠CAB=30°,又∠PCA=30°,由∠PCA+∠ACB求出∠PCB为60°,可得出三角形PCB为等边三角形,根据等边三角形的三边相等,由BC的长即可求出PB的长；当∠ABC=30°时,再分两种情况：（i）P在A的右边时,如图所示,由∠PCA=30°,∠ACB=60°,根据∠PCA+∠ACB求出∠PCB为直角,由∠ABC=30°及BC的长,利用锐角三角形函数定义及cos30°的值,即可求出PB的长；当P在A的左边时,如图所示,由∠PCA=30°,∠ACB=60°,根据∠ACB-∠ACP求出∠PCB为30°,得到∠PCB=∠ABC,利用等角对等边得到PC=PB,由BC及∠ABC=30°,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长,再利用勾股定理求出AB的长,由AB-BP表示出AP,在直角三角形ACP中,利用勾股定理列出关于PB的方程,求出方程的解得到PB的长,综上,得到所有满足题意的PB的长．
分两种情况考虑：当∠ABC=60°时,如图所示：

向左转|向右转
∵∠CAB=90°,∴∠BCA=30°,又∠PCA=30°,∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°,又∠ABC=60°,∴△PCB为等边三角形,又BC=4,∴PB=4；当∠ABC=30°时,如图所示：

向左转|向右转
（i）当P在A的左边时,如图所示：∵∠PCA=30°,∠ACB=60°,∴∠PCB=90°,又∠B=30°,BC=4,∴cosB=BC/PB,即cos30°=4/PB,解得：PB=4/（√3 / 2）=（8√3）/3；（ii）当P在A的右边时,如图所示：∵∠PCA=30°,∠ACB=60°,∴∠BCP=30°,又∠B=30°,∴∠BCP=∠B,∴CP=BP,在Rt△ABC中,∠B=30°,BC=4,∴AC=1/2BC=2,根据勾股定理得：√AB=√（BC²-AC²）=2√3,∴AP=AB-PB=2√3-PB,在Rt△APC中,根据勾股定理得：AC²+AP²=CP²=BP²,∴2²+（2√3-BP）²=BP²,解得：BP=（4√3）/3,综上,BP的长分别为4或433或833．故答案为：4或（4√3）/3或（8√3）/3
点评：此题考查了含30°直角三角形的性质,勾股定理,等边三角形的判定与性质,以及锐角三角函数定义,利用了转化及分类讨论的数学思想,熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A,B的一点,且∠ACP=30°,求P Rt三角形ABC中,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A,B的一点,且∠ACP=30°,求PB的长 Rt三角形ABC,角A=90度,BC是方程X的平方+X-20=0的一个根有一个内角为60度点p是直线AB上不同于A （2009•鸡西）已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90° 已知：Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M为BC中点,P为BC上一动点（P与A、B不重合）PE⊥AB,PF⊥ 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=1,P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点,PQ⊥BC于Q,QR 已知RT△ABC,∠C=90°,AC=BC=6,点P为边AB上的点,CP=2√ 5 ,则点A到直线CP的距离是在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3cm,AC=4cm,以斜边BC上距B点3cm的点P为中心,把这个三角形按逆如图,在Rt△ABC中∠B=90°,AC=5 ,BC=4,点P在射线AB上,以每分钟一个单位长度的速度沿A→B方向运动；（2013•河西区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合）如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3cm,AC=4cm,以斜边BC上距离B点3cm的P为旋转中心,把这个三角形