分段函数f(x) ln(1+ax^3)/(x-arcsinx) ,x0问a为何值时,f(x)在x=0 处连续.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 21:52:38
分段函数f(x)
ln(1+ax^3)/(x-arcsinx) ,x0
问a为何值时,f(x)在x=0 处连续.
ln(1+ax^3)/(x-arcsinx) ,x0
问a为何值时,f(x)在x=0 处连续.
a=-1;
f(x)要在x=0处连续 只需有:[x->0]limf(x)=f(0)即可.
对于本题,f(x)在0点连续那么就可得出:
[x->0+]lim(e^(ax)+x^2-ax-1)/x*sin(x/4)=6;
[x->0-]lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=6;
对于第一个等式,sin(x/4)可用x/4等价无穷小代换,分母x*sin(x/4)即可代换为 x^2/4 再看分子,e^(ax)泰勒展开得:e^(ax)=1+ax+(a^2/2)x^2+o(x^2)
那么分子即为:x^2+(a^2/2)x^2+o(x^2).
分子分母同时除去x^2即可得[x->0+]lim(e^(ax)+x^2-ax-1)/x*sin(x/4)=2a^2+4
2a^2+4=6即可解得a=1或a=-1.
再看第二个等式,ln(1+ax^3)可代换为ax^3,
那么lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=lim ax^3/(x-arcsinx),再用落必达法则求极限:lim ax^3/(x-arcsinx)=lim3ax^2/[1- 1/sqrt(1-x^2)].整理过后得:
lim [3ax^2 ×sqrt(1-x^2)]/[sqrt(1-x^2) -1].
分子分母同时乘[sqrt(1-x^2) +1]后再同时除去 x^2 即可得:
lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=-6a=6,即可得出a=-1.这样一来第一个等式解得的a=1就没用了.也就是说其实可以只做第二个等式就行了.
f(x)要在x=0处连续 只需有:[x->0]limf(x)=f(0)即可.
对于本题,f(x)在0点连续那么就可得出:
[x->0+]lim(e^(ax)+x^2-ax-1)/x*sin(x/4)=6;
[x->0-]lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=6;
对于第一个等式,sin(x/4)可用x/4等价无穷小代换,分母x*sin(x/4)即可代换为 x^2/4 再看分子,e^(ax)泰勒展开得:e^(ax)=1+ax+(a^2/2)x^2+o(x^2)
那么分子即为:x^2+(a^2/2)x^2+o(x^2).
分子分母同时除去x^2即可得[x->0+]lim(e^(ax)+x^2-ax-1)/x*sin(x/4)=2a^2+4
2a^2+4=6即可解得a=1或a=-1.
再看第二个等式,ln(1+ax^3)可代换为ax^3,
那么lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=lim ax^3/(x-arcsinx),再用落必达法则求极限:lim ax^3/(x-arcsinx)=lim3ax^2/[1- 1/sqrt(1-x^2)].整理过后得:
lim [3ax^2 ×sqrt(1-x^2)]/[sqrt(1-x^2) -1].
分子分母同时乘[sqrt(1-x^2) +1]后再同时除去 x^2 即可得:
lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=-6a=6,即可得出a=-1.这样一来第一个等式解得的a=1就没用了.也就是说其实可以只做第二个等式就行了.
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