（2012•北塘区二模）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中，BC边在x轴上，点A（-1，2），点C（3，0）．动

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/11/09 00:34:05

（2012•北塘区二模）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中，BC边在x轴上，点A（-1，2），点C（3，0）．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，到达点D后停止．把

BP的中点M绕点P逆时针旋转90°到点N，连接PN，DN．设P的运动时间为t秒．
（1）经过1秒后，求出点N的坐标；
（2）当t为何值时，△PND的面积最大？并求出这个最大值；
（3）求在整个过程中，点N运动的路程是多少？

（1）当t=1时，AP=1，过点N作NQ⊥AD于点Q，
∵把BP的中点M绕点P逆时针旋转90°到点N，
∴∠BPN=90°，
∴∠APB+∠QPN=90°，
∵∠PQN=90°，
∴∠QPN+∠QNP=90°，
∴∠APB=∠QNP，
又∵∠A=∠PQN=90°，
∴△BAP∽△PQN，
∴
AB
QP=
AP
NQ=
BP
NP=2，
∴PQ=1，NQ=
1
2，
∴N（1，
3
2）；

（2）当点P运动时间为t秒时，
∵点A（-1，2），点C（3，0），
∴NQ=
t
2，PD=4-t，
∴△PND的面积=y=
1
2•
t
2(4-t)=-
t2
4+t=-
1
4（t-2）²+1，
当t=2时，y最大，
y_最大=1．

（3）因为PQ=1，AP=t，点A（-1，2），
所以N（t，2-
t
2），
当t=0时，2-
t
2=2；则N点坐标为（0，2），
当t=4时，2-
t
2=0，则N′点坐标为（4，0），并且点N沿直线y=2-
t
2运动，
所以：点N运动的路程是：NN′=
42+22=2
5．