已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/09 03:38:45

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上．
（1）求a₁，a₂；并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上．
∴Sn＝n2+2n，n∈N*，
∴a₁=S₁=3，（2分）
又a1+a2＝S2＝22+2×2＝8，∴a₂=5．（4分）
由（1）知，Sn＝n2+2n，n∈N*，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，（6分）
由（1）知，a₁=3=2×1+1满足上式，（7分）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．（8分）
（2）由（1）得b_n=
1
(2n+1)(2n+3)(2n+5)
=
1
4[
1
(2n+1)(2n+3)−
1
(2n+3)(2n+5)]，
∵b_n=
1
anan+1an+2=k（
1
anan+1-
1
an+1an+2），
∴k=
1
4．
（3）证明：T_n=
1
4[
1
3×5−
1
5×7+
1
5×7−
1
7×9+…+
1
(2n+1)(2n+3)−
1
(2n+3)(2n+5)]（12分）
=
1
4[
1
3×5−
1
(2n+3)(2n+5)]
=
1
60−
1
4(2n+3)(2n+5)＜
1
60．
∴T_n＜
1
60．（14分）