在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，上顶点（0，b）在直线x+y-1=
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/07/05 22:03:44
在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：
| x
（I）∵上顶点（0，b）在直线x+y-1=0上，∴b=1，
由e=
c
a＝
a2−b2
a=
3
2得a2=4b2，即a=2，
∴椭圆Γ的方程为
x2
4+y2=1；
（II） （i）存在实数t，使得k1=tk2．
设A（x1，y1）（x1y1≠0），C（x2，y2），则B（-x1，-y1）
∴直线AB的斜率kAB=
y1
x1，
∵AB⊥AC，∴直线AC的斜率k=-
x1
y1，
设直线AC的方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0，
由
y＝kx+m
x2+4y2＝4得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∴x1+x2=-
8km
1+4k2，y1+y2=k（x1+x2）+2m=
2m
1+4k2
由题意知x1≠-x2，∴k1=
y1+y2
x1+x2＝−
1
4k＝
y1
4x1，
∴直线BC的方程为y+y1=
y1
4x1（x+x1），令y=0，得x=3x1，即P（3x1，0），
∴k2=
0−y1
3x1−x1＝−
y1
2x1∴k1=-
1
2k2即t=-
1
2，
∴存在常数t=-
1
2使得结论成立．
（ii）直线BC的方程y+y1=
y1
4x1（x+x1），
令x=0，得y=-
3
4y1，
即Q（0，-
3
4y1），由（ i）知P（3x1，0），
∴△OPQ的面积为S=
1
2|OP|•|OQ|=
1
2×3|x1|×
3
4|y1|=
9
8|x1||y1|
由于|x1||y1|≤
x12
4+y12，
当且仅当
|x1|
2＝|y1|＝
2
2时等号成立，此时S取得最大值
9
8，
∴△OPQ面积的最大值为
9
8．
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