在三角形ABC中,角A、B、C所对的分别为a、b、c,已知asin²B/2+bsin²A/2=c/2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/06 18:53:34

在三角形ABC中,角A、B、C所对的分别为a、b、c,已知asin²B/2+bsin²A/2=c/2
(1)求证：a,b,c成等差数列
（2）若a-b=4,△ABC三个内角的最大角为120°,求△ABC的面积S

证明：
(1)
已知asin²（B/2）+bsin²（A/2）=c/2

∵cosB = 1-2 sin²（B/2）

∴sin²（B/2）=(1- cosB)/2

同理,

cosA = 1-2 sin²（A/2）

∴sin²（A/2 =(1- cosA)/2

∴asin²（B/2）+bsin²（A/2）= c/2

→a×(1- cosB)/2＋b×(1- cosA)/2 = c/2

→a－a×cosB ＋b－b×cosA = c

a＋b－c = a×cosB+ b×cosA

根据余弦定理,可得

cosB = (a2 + c2 - b2) / (2·a·c)

cosA = (c2 + b2 - a2) / (2bc)

代入到a＋b－c = a×cosB+ b×cosA,得

a＋b－c = a×[(a2 + c2 - b2) / (2·a·c)]+ b×[(c2 + b2 - a2) / (2bc)]

=( a2 + c2 - b2＋c2 + b2 - a2)/2c

= 2 c2/2c

=c
a＋b－c = c → a＋b = 2c ∴ a,b,c成等差数列

(2)

(2)
∵a-b=4,可知,在△ABC中,a是∠A所对的边最大,

根据三角形中,大边对大角,

∴∠A=120°,∵a-b=4
∴b=a-4,

2c = a＋b = a + a-4 =2a -4 ∴c=a-2；

代入余弦公式：

a²=b²+c²-2bc·cosA
= (a-4)²+(a-2)²－2×(a-4) ×(a-2)×cos120°

整理化简得a²－9a＋14 =0
解得a =7 ,a= 2 ,当a = 2时,由c=a-2 = 0 ,无意义,
∴ a =7 b=a-4 = 7-4=3 c c=a-2 =7 -2 =5
b = 3 ,c =5
根据三角形的面积公式
S△ABC =(1/2)×b×c×sinA
=(1/2) ×3×7×sin120°
= (21/4)√3
∴S△ABC =(21/4)√3

△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin²B/2+bsin²A/2=c/2 在三角形ABC中,角A`B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=3,求b等于多少? 在三角形ABC中,已知角A>B>C,A=2C,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a,b,c的长成等差数列,且b=4, 在三角形abc中,角A.B.C所对的边分别为a.b.c,已知a=2,c=3,cosB是方程高中解三角形一题在△ABC中,已知角A>B>C,A=2C,A B C 所对的边分别为a、b、c.若a、b、c的长成等差数在三角形ABC中,角A,角B角C所对的边分别为a,b,c已知a=2bcosC个三角形一定是在三角形ABC中,已知A>B>C,且A=2C,A,B,C所对的边分别为a,b,c又a,b,c成等差数列,且b=4,求 a 在三角形abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知c=2,acosb-bcosa=7 在三角形Abc中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知c=2aC=4分已知在三角形ABC中,内角A,B.C所对的边分别为a,b,c且acosC+(根号3)c/2=b 在三角形ABC中,已知角A,B,C所对的三条边分别是a,b,c,且cosB/cosC=-b/2a+c 在三角形ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B