已知函数f（x）=x+2a2x-alnx（a∈R）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 08:08:03

已知函数f（x）=x+

（1）因为f（x）=x+
2a2
x−alnx(x＞0)，所以f′(x)＝1−
2a2
x2−
a
x＝
x2−ax−2a2
x2=
(x+a)(x−2a)
x2，
①若a=0，f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上单调递减．
②若a＞0，当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2a）上单调递减；当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2a，+∞）上单调递增．
③若a＜0，当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上单调递减；当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上单调递增．
综上：①当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当a＞0时，f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．
③当a＜0时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
（2）当a=1时，f（x）=x+
2
x−lnx(x＞0)．
由（1）知，若a=1，当x∈（0，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增，
所以f（x）_min=f（2）=3-ln2．
因为对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
所以问题等价于对于任意x∈[1，e]，f（x）_min≥g（x）恒成立，
即3-ln2≥x²-2bx+4-ln2对于任意x∈[1，e]恒成立，
即2b≥x+
1
x对于任意x∈[1，e]恒成立，
因为函数y=x+
1
x的导数y′＝1−
1
x2≥0在[1，e]上恒成立，
所以函数y=x+
1
x在[1，e]上单调递增，所以(x+
1
x)max＝e+
1
e，
所以2b≥e+
1
e，所以b≥
e
2+
1
2e，
故实数b的取值范围为[
e
2+
1
2e，+∞）．

已知函数f(x)=alnx+2/(x+1) (a∈R）已知函数f（x）=12x2+alnx（a∈R）．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx,a∈R 已知函数f(x)=x^2-(a+2)x+alnx(a∈R),求函数f(x)单调区间已知函数f（x）=x-alnx,g（x）=-1+a/x,a∈R,已知函数f（x）=x-alnx,g（x）=-1+a/x, 已知函数f(x)=2/x+aLnx,a∈R 已知函数f（x）=x-alnx，g(x)＝−1+ax，(a∈R)．已知函数f(x)=1/2x^2+alnx(a∈R,a≠0）,求f（x）的单调区间已知函数f(x)=x-1/x,g(x)=alnx(a∈R) 已知函数f(x)=x的平方+2/x+alnx,a属于R（1）若a=4,求函数f(x)的单调区间已知函数f(x)=根号x,g(x)=alnx,a∈R