作业帮已知函数f（x）=xlnx+1．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/16 23:34:08
已知函数f（x）=xlnx+1．
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的斜率．
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的斜率．
（1）求导函数，可得f′（x）=lnx+1，x＞0．…（2分）
由f′（x）=lnx+1＞0，可得x＞
1
e；f′（x）=lnx+1＜0，可得0＜x＜
1
e，
所以f（x）在（0，
1
e）上单调递减，在（
1
e，+∞）上单调递增．…（4分）
所以x=
1
e是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（6分）
（2）设切点坐标为（a，b），
则b=alna+1，切线的斜率为lna+1，
又切线l过点（0，-1），所以
b+1
a＝lna+1 …（9分）
所以b+1=a（lna+1），
所以alna+1+1=a（lna+1），所以a=2，
所以直线l的斜率为1+ln2…（12分）
由f′（x）=lnx+1＞0，可得x＞
1
e；f′（x）=lnx+1＜0，可得0＜x＜
1
e，
所以f（x）在（0，
1
e）上单调递减，在（
1
e，+∞）上单调递增．…（4分）
所以x=
1
e是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（6分）
（2）设切点坐标为（a，b），
则b=alna+1，切线的斜率为lna+1，
又切线l过点（0，-1），所以
b+1
a＝lna+1 …（9分）
所以b+1=a（lna+1），
所以alna+1+1=a（lna+1），所以a=2，
所以直线l的斜率为1+ln2…（12分）