初中数学竞赛题（一）1.x是大于0的实数,已知存在唯一的实数k,使关于x的方程x^2+(k^2+ak)x+1999+k^

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 05:58:49

初中数学竞赛题（一）
1.x是大于0的实数,已知存在唯一的实数k,使关于x的方程x^2+(k^2+ak)x+1999+k^2+ak=0的两根均为质数,求a的值.
2.已知a,b,c为正整数,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴有两个不同的交点,且它们到原点的距离都小于一,求a+b+c的最小值.
请简要写出解答过程,谢谢!

(1)设两根为x,y,由韦达定理,x+y=-k^2-ak,xy=1999+k^2+ak=1999-x-y,移项得x(y+1)+y+1=(x+1)(y+1)=2000,
所以x+1=1,y+1=2000;x+1=2,y+1=1000;x+1=4,y+1=500;x+1=5,y+1=400;x+1=8,
y+1=250;x+1=10,y+1=200;x+1=16,y+1=125;x+1=20,y+1=100;x+1=25,y+1=80;
x+1=40,y+1=50(本来20种,但x、y顺序互换无影响故省去)
又因为x、y为质数,所以只有x=3,y=499所以k^2+ak+1497=0
又因为k是唯一的,所以△=a^2-4*1497=0,a=2√1497
(2)设两根为x,y,因为-1＜x＜1,-1＜y＜1,所以-2＜x+y＜2,
(x+1)(y+1)＞0,(x-1)(y-1)＞0,所以b＜2a,b＜a+c且b^2-4ac＞0
所以a＞c
又因为b^2至少为9（等于4的话a=c=1了）所以此时b=3,a至少为2,c至少为1
但因为b=a+c,所以舍去；a为3时,c至少为1,此时a+b+c的最小值为7
当b=4时,a至少为3,a+b+c必定大于7
故a+b+c的最小值为7
写得真辛苦哎.

初中数学竞赛题（一）1.x是大于0的实数,已知存在唯一的实数k,使关于x的方程x^2+(k^2+ak)x+1999+k^ 大于0的实数,已知存在唯一的实数k,使关于x的方程x平方+（k平方+ak）x+1999+k平方+ak=0的两根均为质数, a是大于零的实数，已知存在惟一的实数k，使得关于x的二次方程x2+（k2+ak）x+1999+k2+ak=0的两个根均为高一数学题、、 :已知关于x的方程x+(2k-1)x+k=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件. 关于x的方程(k^2+k+1)x^2-2(a+k)^2x+2(k^2+3ak+b)=0 对任意实数都有根"1" 已知x1，x2是关于x的方程x2+2（k-1）x+k2=0的两个实数根，是否存在常数k，使1x 已知关于x的方程x+（2k-1）x+k=0,求使该方程有两个大于1的实数根的充要条件.请问, 已知关于x的方程kx²-2（k+1）x+k+1=0有两个不相等的实数根,问是否存在实数k,使此方程的两个实数根：已知关于x的方程x²+(2k-1)x+k²=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件. 关于x的方程kx²+（k+1）x+¼k 是否存在实数k,使方程两个实数根的倒数和为0?若存在已知K为实数,求证关于X的方程2X^2-(4K-1)X-(K^2+K)=0有两个不相等的实数根. 关于X的方程KX2+（K+2）X+4/K=0有两个不相等的实数根是否存在实数K,使方程的两实数根为相相反数?若存在