求两椭圆(x^2)/3+(y^2)≦1与x^2+(y^2)/3≦1内部的公共部分的面积,具体的过程,最好附说明!跪谢!
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 09:49:56
求两椭圆(x^2)/3+(y^2)≦1与x^2+(y^2)/3≦1内部的公共部分的面积,具体的过程,最好附说明!跪谢!
由椭圆方程知,两椭圆为全等椭圆,即两椭圆形状完全相同
由椭圆的对称性可知,两椭圆的四个交点和两坐标轴及直线y=±x
将公共部分平分为8个相等的部分
比如,设图中蓝色阴影部分面积为A1,则
公共部分(所有阴影)总面积为A=8A1
由方程组 x^2/3+y^2=1,x^2+y^2/3=1
易解得,x=√3/2,y=√3/2
即两椭圆在第一象限的交点为(√3/2,√3/2)
易知,面积A1由直线y=0,y=x,及椭圆的一段弧围成
积分区间为x1≤x≤x2,0≤y≤√3/2;其中,x1=y,x2=√[1-y^2/3]
∴A1=∫<0,√3/2>(x2-x1)dy
=∫<0,√3/2>(√[1-y^2/3]-y)dy
=∫<0,π/6>(cost-√3sint)√3costdt y=√3sint,t∈[0,π/6]
=√3∫<0,π/6>[(cost)^2-√3sintcost]dt
=√3∫<0,π/6>[(cos2t+1)/2-√3sintcost]dt
=√3{1/4∫<0,π/6>cos2td2t+1/2∫<0,π/6>dt-√3∫<0,π/6>sintdsint}
=√3{1/4<0,π/6>sin2t+1/2<0,π/6>t-√3<0,π/6>(sint)^2/2}
=√3{1/4*√3/2+1/2*π/6-√3*(1/2)^2/2}
=√3/12*π
∴公共部分总面积为
A=8A1=8*√3/12*π=2√3/3*π
由椭圆的对称性可知,两椭圆的四个交点和两坐标轴及直线y=±x
将公共部分平分为8个相等的部分
比如,设图中蓝色阴影部分面积为A1,则
公共部分(所有阴影)总面积为A=8A1
由方程组 x^2/3+y^2=1,x^2+y^2/3=1
易解得,x=√3/2,y=√3/2
即两椭圆在第一象限的交点为(√3/2,√3/2)
易知,面积A1由直线y=0,y=x,及椭圆的一段弧围成
积分区间为x1≤x≤x2,0≤y≤√3/2;其中,x1=y,x2=√[1-y^2/3]
∴A1=∫<0,√3/2>(x2-x1)dy
=∫<0,√3/2>(√[1-y^2/3]-y)dy
=∫<0,π/6>(cost-√3sint)√3costdt y=√3sint,t∈[0,π/6]
=√3∫<0,π/6>[(cost)^2-√3sintcost]dt
=√3∫<0,π/6>[(cos2t+1)/2-√3sintcost]dt
=√3{1/4∫<0,π/6>cos2td2t+1/2∫<0,π/6>dt-√3∫<0,π/6>sintdsint}
=√3{1/4<0,π/6>sin2t+1/2<0,π/6>t-√3<0,π/6>(sint)^2/2}
=√3{1/4*√3/2+1/2*π/6-√3*(1/2)^2/2}
=√3/12*π
∴公共部分总面积为
A=8A1=8*√3/12*π=2√3/3*π
椭圆与圆的一道题椭圆x^2/9+y^2/4=1 圆x^2+(y+1)^2=r^2(r>0)两条曲线没有公共点,求r的取值
直线y+kx+2和椭圆2x²+3y²=1有公共点,则k的取值范围(完整的解题过程)
直线l:y=2x+m与椭圆x^2/4+y^2/3=1有公共点,求实数m的取值范围
已知椭圆C与双曲线x^2/4-y^2/5=1有两个公共顶点,且椭圆的一个焦点到双曲线的渐近线的距离为2/3,求椭圆C的标
过椭圆X^2/4+Y^2=1的左焦点的两条垂直直线与椭圆交于ABCD四点,求四边形ABCD最小面积
已知抛物线 y^2=x(y的平方等于x) ,直线L过点(0,1),且与抛物线只有一个公共点,求直线L的方程 最好有点过程
椭圆x^2/5+y^2/m=1与直线y=kx+1恒有公共点,求m的取值范围?
已知双曲线与椭圆x^2/36+y^2/49=1有公共的焦点,并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为3/7,求双曲线的方程
若直线y=kx+2和椭圆x平方/3+y平方/2=1有两个公共点,求k的范围
与椭圆x^2+4y^2=4有公共的焦点,且经过点A(2,1)的椭圆的方程
求y=3x+4/x^2(x>0)的最小值.(写具体过程)
经过点(2,-3),且与椭圆9x平方+4y平方=36有公共焦点的椭圆方程为