PA⊥OA于点A,PB⊥OB于点B,PA=PB,连结OA,OB,OP (1)求证：△AOP≌△BOP

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/01 16:03:43

PA⊥OA于点A,PB⊥OB于点B,PA=PB,连结OA,OB,OP (1)求证：△AOP≌△BOP
（2）设AC＝a,BD＝b,且a≠b,a与b满足a2－10a＋22＝0,
b2－10b＋22＝0
①求AC＋BD的值.
②若AP＝20,CD＝10,问△PCD的周长为▁▁▁▁▁▁
（3）过O作OC,OD分别交AP,BP于C、D两点,连结CD,
若△PCD周长为2AP,求证：OD平分∠BDC
(在字母后的2，表示为平方)

(1)
根据条件PA⊥OA于点A,PB⊥OB于点B,可知△AOP与△BOP都是直角三角形
根据勾股定理,OA^2=OP^2-PA^2,OB^2=OP^2-PB^2
考虑到这里OA、OB、OP、PA、PB都是线段长度,是正数,且PA=PB,所以有OA=OB
那么对于两个直角三角形△AOP与△BOP,三条边分别对应相等
所以：△AOP≌△BOP
(2)
根据条件,a与b都是x^2-10x+22=0的解,考虑到a≠b,可得：
a=5-√3,b=5+√3 （或者a=5+√3,b=5-√3,但两种情形对称,可以归并为一种情形考虑）
所以：①AC+BD=a+b=10
②△PCD的周长是PC+PD+CD=PA-AC+PB-BD+CD=2PA-(AC+BD)+CD=40
(3)
根据(2)②的计算过程可知,当△PCD周长为2AP时,CD=AC+BD
对△OCD,根据余弦定理和勾股定理,并考虑到OA=OB,可得：
cos∠ODC=(OD^2+CD^2-OC^2)/(2×OD×CD)
=[OD^2+(AC+BD)^2-OC^2]/(2×OD×CD)
=[OD^2+BD^2+2×AC×BD-(OC^2-AC^2)]/(2×OD×CD)
=[OD^2+BD^2+2×AC×BD-OA^2]/(2×OD×CD)
=[(OD^2-OB^2)+BD^2+2×AC×BD]/(2×OD×CD)
=(2×BD^2+2×AC×BD)/(2×OD×CD)
=[BD×(AC+BD)]/(OD×CD)
=(BD×CD)/(OD×CD)
=BD/OD
而直角△OBD中,cos∠OBD=BD/OD
∴cos∠ODC=cos∠OBD
考虑到∠ODC与∠OBD都大于0°小于180°
∴∠ODC=∠OBD
∴OD平分∠BDC

如图,PA.PB分别切圆O于A、B两点,连结OA、OB、AB 设OP交圆O于C,试说明C为△PAB的内心如图,PA切圆o于点A,PO交圆O于点B,延长PO交圆O于点C,OB=PB=1,OA绕点O逆时针方向旋转60度到OD,则点P是∠AOB的角平分线上的一点,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别是A,B 求证: PA、PB切圆O于A和B,PO交AB于M,过M任作一弦CD；求证：∠APC=∠BPD．（提示：连结OA,OB,OC,OD 如图,OA=OB,∠A=∠B,求证,PA=PB 如图,已知点P为∠AOB平分线上一点,PA⊥OA,PB⊥OB,点A,B分别为垂足,连结AB.请你说明∠PAB=∠PBA, 如图PA切圆0于点A,直线PC经过圆心O,交圆O于另一点B,OB=PB=1,OA绕点O逆时针方向旋转60°到OD,则PD 已知：PA、PB与⊙O相切于A点、B点,OA=1,PA=,则图中阴影部分的面积是____________(结果保留π)．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针方向旋转60°到OD，则PD的长为（　　）已知,如图,PA、PB是圆O的切线,A、B是切点,连接OA、OB、OP 过点P（2,1）的直线l,与x,y正半轴交于A,B.求OA+OB最小时,L的方程?求PA×PB最小时,L的方程? PA、PB是圆O的两条切线,A、B为切点,直线OP交圆O于点D、E,交AB于点C,已知PA=4,PD=2求半径OA的长?