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设x，y∈R，i、j，为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y-2）j

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/19 14:20:16
设x，y∈R，
i
、
j
，为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点．设
OP
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
（1）∵

a=x

i+（y+2）

j，

b=x

i+（y-2）

j
∴|

a|=
x2+(y+2)2，|

b|=
x2+(y−2)2
设F1（0，-2），F2（0，2），动点M（x，y），可得|

a|、|

b|分别表示点M到F1、F2的距离．
∵|

a|+|

b|=8，即M到F1、F2的距离之和等于8，
∴点M（x，y）的轨迹C是以F1（0，-2），F2（0，2）为焦点，长轴长为8的椭圆，
可得a=4，c=2，b2=a2-c2=12，
可得椭圆方程为
y2
16+
x2
12＝1，即为点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）由于直线l过点（0，3），故
①当直线l为y轴时，A、B为椭圆的顶点，可得

OP=

OA+

OB=

0
此时点P与原点重合，不符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
由

y＝kx+3

y2
16+
x2
12＝1消去y，得（4+3k2）x2+18kx-21=0
此时△=（18k）2-4（4+3k2）•（-21）=576k2+336＞0恒成立
x1+x2=
−18k
4+3k2，代入直线得y1+y2=k（x1+x2）+12=
24
4+3k2
∵

OP=

OA+

OB，∴四边形OAPB是平行四边形，
若四边形OAPB是菱形，则|

OA|=|

OB|
∵

OA=（x1，y1），

OB=（x2，y2）
∴x12+y12=x22+y22，化简得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0
 可得l的斜率k=
y1−y2
x1−x2=-
x1+x2
y1+y2=-

−18k
4+3k2

24
4+3k2=-
3k
4
解之得k=0，因此存在直线y=3，使得四边形OAPB为菱形．
设x、y属于R,i、j为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量,若向量a=xi+（y+根2）·j,b=xi+（y-根 设x,y∈R,i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量,向量a＝xi+（y+2）j,b=xj+（y-2）j,|a 求解轨迹方程设 x y 属于R,i j 为直角坐标系内x y轴正方向上的单位向量,若向量a=xi+（y+2）j,b=xi 跪求一道数学题解法!已知ij分别为x轴、y轴正方向上的单位向量,若向量a=xi+（y+√3）j b=xi+（y-√3）j 设向量a=（-1-x）i,向量b=(1- x)i-yj（x、y∈R,i、j分别是x、y轴正方向上的单位向量） 设i,j是平面直角坐标系内x轴,y轴正方向上的单位向量,且向量AB=4i+2j.向量AC=3i+4j,求三角形ABC的面 向量i,j是平面直角坐标系x轴,y轴正方向上的两个单位向量,且向量AB=4向量i+2向量j,向量AC=3向量j+4向量j 设i,j分别是平面直角坐标系内x轴,y轴的正方向上的单位向量, 设向量I,向量J分别是平面直角坐标系中与X轴,Y轴方向相同的两个单位向量,若向量A=向量I+2向量J,向量B=—2 设i,j是平面直角坐标系内x轴y轴正方向的两个单位向量,且向量AB=4i+2j,AC=3i+4j,求三角形ABC的面积是 已知向量i,向量j是x,y轴正方向的单位向量,设向量a=(x-根号3)向量I+y向量j,向量b=( 1.设i,j分别是x轴,y轴正方向上的单位向量,且向量AB=4i+2j,向量AC=3i+4j,则三角形ABC的面积是?