已知函数F(x)= -sin²x+2asinx+5,当F(x)=0有实数解,求a的范围

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 06:12:17

因为-sin²x+2a·sinx+5=0有实数解,
令t=sinx,
则方程-t²+2a·t+5=0在[-1,1]内有解．
令g(t)=-t²+2at+5
（1）若g(t)=0在[-1,1]内恰有一解,
则g(-1)·g(1)≤0
即(-2a+4)(2a+4)≤0,解得a≤-2或a≥2
（2）若g(t)在[-1,1]内有二解,则满足四个条件：
g(-1)=-2a+4
再问：不是应该将a从方程中剥离出来么然后用三角函数的有界性计算吗
再答：可以的． -sin²x+2a·sinx+5=0 易知sinx≠0，所以　2a=(sin²x-5)/sinx=sinx -5/sinx 令t=sinx，-1≤t≤1，t≠0 f(t)= t- 5/t f'(t)=1+5/t²>0 从而f(t)在[-1，0)和(0,1]上都是增函数， f(-1)=4，f(1)=-4 于是f(t)≥4或f(t)≤-4 即2a≥4或2a≤-4 a≥2或a≤-2

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