已知a、b、c∈R,求证:a的四次方+b的四次方+c的四次方≥abc(a+b+c)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/13 04:32:29
已知a、b、c∈R,求证:a的四次方+b的四次方+c的四次方≥abc(a+b+c)
原式=a^4+b^4+c^4
=1/2(a^4+b^4+b^4+c^4+c^4+a^4)
=1/2[(a^4-2a^2×b^2+b^4+b^4-2b^2×c^2+c^4-2c^2×a^2+c^4+a^4)+2a^2×b^2+2b^2×c^2+2c^2×a^2]
=1/2[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2]+a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
因为[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2]≥0
所以
原式=a^4+b^4+c^4 ≥a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
而同理
a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
=1/2[a^2×b^2+b^2×c^2+b^2×c^2
+c^2×a^2+c^2×a^2 +a^2×b^2]
=1/2[a^2×b^2-2acb^2+b^2×c^2+b^2×c^2-2abc^2
+c^2×a^2+c^2×a^2 -2bca^2+a^2×b^2+2acb^2+2abc^2+2bca^2]
=1/2[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]+acb^2+abc^2+bca^2
=1/2[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]+abc(a+b+c)
因为[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]≥0
所以
a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2 ≥abc(a+b+c)
=1/2(a^4+b^4+b^4+c^4+c^4+a^4)
=1/2[(a^4-2a^2×b^2+b^4+b^4-2b^2×c^2+c^4-2c^2×a^2+c^4+a^4)+2a^2×b^2+2b^2×c^2+2c^2×a^2]
=1/2[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2]+a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
因为[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2]≥0
所以
原式=a^4+b^4+c^4 ≥a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
而同理
a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
=1/2[a^2×b^2+b^2×c^2+b^2×c^2
+c^2×a^2+c^2×a^2 +a^2×b^2]
=1/2[a^2×b^2-2acb^2+b^2×c^2+b^2×c^2-2abc^2
+c^2×a^2+c^2×a^2 -2bca^2+a^2×b^2+2acb^2+2abc^2+2bca^2]
=1/2[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]+acb^2+abc^2+bca^2
=1/2[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]+abc(a+b+c)
因为[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]≥0
所以
a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2 ≥abc(a+b+c)
已知,a,b,c,为三角形ABC的三边,且满足a方c方-b方c方=a的四次方-b的四次方
证明不等式a的四次方+b的四次方+c的四次方大于等于abc(a+b+c)
证明不等式a的四次方 b的四次方 c 的四次方大于等于abc(a b c)
因式分解 a四次方b四次方-c四次方
已知a,b,c为三角形ABC的三边,求证a的四次方+b的四次方+c的四次方小于2a^b^+2a^c^+2b^c^
abc是三角形abc的三边,且a四次方+b四次方+c四次方+2a²b²-2a²c²
已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a²c²-b²c²=a的四次方-b的四次方
已知a的4次方加b的四次方加c的四次方加d的四次方等于4abcd,求证这个四边形是菱形
已知a,b,c是一个三角形的三边,求证a四次方+b四次方+c四次方-2a平方b平方-2b平方c平方-2c平方a平方的值恒
已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a²c²-b²c²=a四次方-b四次方,试
已知a,b,c是△ABC的3边,且满足a²c²-b²c²=a四次方-b四次方,请
已知a+b+c=0 ab+bc+ca=-2/1 求a的四次方+b的四次方+c的四次方