设双曲线E:x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1,F2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/03 01:51:19

设双曲线E:x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1,F2
其上的任意一点P满足向量PF1·向量F2P小于等于2a^2,过F1作垂直于双曲线实轴的弦长为8.求双曲线E得方程.若过F1的直线交双曲线于AB两点,求向量F2A·向量F2B的取值范围

设双曲线E:x²/a²-y²/b²=1的左右焦点分别为F₁,F₂,其上的任意一点P满足向量PF₁•向量F₂P≦2a²,过F₁作垂直于双曲线实轴的弦长为8.求双曲线E的方程.若过F₁的直线交双曲线于AB两点,求向量F₂A•向量F₂B的取值范围
令x=-c,代入双曲线方程得c²/a²-y²/b²=1；
故y²=b²(c²/a²-1)=b²(c²-a²)/a²=b⁴/a²,∣y∣=b²/a=8/2=4,即有b²=4a.(1)
设P点的坐标为(x,y),那么PF₁=(-c-x,-y)；F₂P=(x-c,y)；
PF₁•F₂P=-(c+x)(x-c)-y²=-(x²-c²)-y²=c²-x²-y²=c²-x²-[b²(x²/a²-1)]
=-(1+b²/a²)x²+c²+b²≦c²+b²=a²+2b²=2a²,故得a²=2b².(2)
将（1）代入(2)式得a²=8a,即有a²-8a=a(a-8)=0,故a=8,b²=32,于是得双曲线
方程为x²/64-y²/32=1.
(2).双曲线参数a=8,b=4√2,c=√96=4√6；
设过F₁(-4√6,0)的直线方程为y=k(x+4√6),代入双曲线方程得：
x²-2k²(x+4√6)²-64=(1-2k²)x²-16k²(√6)x-192k²-64=0
设A(x₁,y₁)；B(x₂,y₂)；则x₁+x₂=16(√6)k²/(1-2k²)；x₁x₂=-(192k²+64)/(1-2k²)
y₁y₂=[k(x₁+4√6)][k(x₂+4√6)]=k²[x₁x₂+(x₁+x₂)4√6+96]
=k²[-(192k²+64)/(1-2k²)+384k²/(1-2k²)+96]=k²[(192k²-64)/(1-2k²)+96]
=32k²/(1-2k²)
F₂(4√6,0)；F₂A=(x₁-4√6,y₁)；F₂B=(x₂-4√6,y₂)；
故F₂A•F₂B=(x₁-4√6)(x₂-4√6)+y₁y₂=x₁x₂-(4√6)(x₁+x₂)+y₁y₂+96
=-(192k²+64)/(1-2k²)-384k²/(1-2k²)+32k²/(1-2k²)+96
=(-736k²+32)/(1-2k²)=368-336/(1-2k²)
k→∞lim(F₂A•F₂B)=k→∞lim[368-336/(1-2k²)]=368;
k→0lim(F₂A•F₂B)=k→0lim[368-336/(1-2k²)]=32；
即32