作业帮9月30日椭圆与双曲线试卷
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/09 04:57:42
5，设P为双曲线x^2-y^2/12=1上的一点，F1,F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|=3:2，则△PF1F2的面积为 A 6√3 B 12 C 12√3 D 24 别人提问解答： 由双曲线方程x^2－y^2/12＝1，得：c^2＝a^2＋b^2＝1＋12＝13， ∴｜F1F2｜＝2√13。
∵｜PF1｜∶｜PF2｜＝3∶2，∴｜PF1｜＝（3/2）｜PF2｜。
由双曲线定义，有：｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝2，
∴｜（3/2）｜PF2｜－｜PF2｜｜＝2， ∴（1/2）｜PF2｜＝2， ∴｜PF2｜＝4。
∴｜PF1｜＝（3/2）×4＝6。
∵｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2＝36＋16＝52， ｜F1F2｜^2＝4×13＝52，
∴｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2＝｜F1F2｜^2， ∴∠F1PF2＝90°。
∴△PF1F2的面积＝（1/2）｜PF1｜｜PF2｜＝（1/2）×6×4＝12。
即：△PF1F2的面积为12。 我的问题：“∵｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2＝36＋16＝52， ｜F1F2｜^2＝4×13＝52，
∴｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2＝｜F1F2｜^2， ∴∠F1PF2＝90°。”为什么要去算，事先又不知道是90°？
∵｜PF1｜∶｜PF2｜＝3∶2，∴｜PF1｜＝（3/2）｜PF2｜。
由双曲线定义，有：｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝2，
∴｜（3/2）｜PF2｜－｜PF2｜｜＝2， ∴（1/2）｜PF2｜＝2， ∴｜PF2｜＝4。
∴｜PF1｜＝（3/2）×4＝6。
∵｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2＝36＋16＝52， ｜F1F2｜^2＝4×13＝52，
∴｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2＝｜F1F2｜^2， ∴∠F1PF2＝90°。
∴△PF1F2的面积＝（1/2）｜PF1｜｜PF2｜＝（1/2）×6×4＝12。
即：△PF1F2的面积为12。 我的问题：“∵｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2＝36＋16＝52， ｜F1F2｜^2＝4×13＝52，
∴｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2＝｜F1F2｜^2， ∴∠F1PF2＝90°。”为什么要去算，事先又不知道是90°？
解题思路： 无论是不是90°，我们都可进行这些计算，不是90°的话，就用余弦定理，再换算出正弦。
解题过程：
题目设计的数据巧合（实际上是专门按照90°设计的）。 既然算出了是90°，我们就用直角三角形的面积公式去算面积就行了。 如果我们事先不知道是90°，或者它根本就不是90°，我们还是要算的， 只是最后发现了它是90°，就按直角三角形来算； 如果它不是90°，就按余弦定理，先求出角F1PF2的余弦，再用平方关系换算出正弦，最后利用S=(1/2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2 求面积。 【实际上，在余弦定理中，也是要用到“|PF1|^2+|PF2|^2”的】。 比如，假设我们算出（我随便写的数）：|PF1|＝5，|PF2|=3，平方和为34，不等于52， 那么，可算出 cos∠F1PF2＝(34-52)/(2×5×3)＝-3/5， 进而可得sin∠F1PF2＝4/5， ∴ S = 5×3×(4/5)/2＝6 同学你好，如对解答还有疑问，可在答案下方的【添加讨论】中留言，我收到后会尽快给你答复。感谢你的配合！祝你学习进步，生活愉快 .
最终答案：略
解题过程：
题目设计的数据巧合（实际上是专门按照90°设计的）。 既然算出了是90°，我们就用直角三角形的面积公式去算面积就行了。 如果我们事先不知道是90°，或者它根本就不是90°，我们还是要算的， 只是最后发现了它是90°，就按直角三角形来算； 如果它不是90°，就按余弦定理，先求出角F1PF2的余弦，再用平方关系换算出正弦，最后利用S=(1/2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2 求面积。 【实际上，在余弦定理中，也是要用到“|PF1|^2+|PF2|^2”的】。 比如，假设我们算出（我随便写的数）：|PF1|＝5，|PF2|=3，平方和为34，不等于52， 那么，可算出 cos∠F1PF2＝(34-52)/(2×5×3)＝-3/5， 进而可得sin∠F1PF2＝4/5， ∴ S = 5×3×(4/5)/2＝6 同学你好，如对解答还有疑问，可在答案下方的【添加讨论】中留言，我收到后会尽快给你答复。感谢你的配合！祝你学习进步，生活愉快 .
最终答案：略