作业帮求解三角函数的极值 sinx+asin2x 最好带上方法 （急）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 23:35:16
求解三角函数的极值 sinx+asin2x 最好带上方法 （急）
f(x)=sinx+2asinxcosx=sinx(1+2acosx)
f '(x)==2a(2(cosx)^2-1)
f '(x)=0
cosx=±sqrt(1/2)
最后换算成x的取值就好
再问： 你漏了一项还有个cosx的....有那么简单我也不会悬赏20分了
再答： 那就讨论a的一元二次函数的根就好了。 cosx+2a(2(cosx)^2-1)=0 讨论a=0时，cosx=0 a≠0时，就是求根公式啊 然后用三角反函数就可以得到 x=arccos[(-1±sqrt(1+32a^2))/8a] 或者x=arccos[(-1±sqrt(1+32a^2))/8a] + 2kπ （π=1，2，3，...）
再问： 正负号你怎么取？我只是想问问有没有什么简单的方法，比如均值之类的
再答： 直接写上面的结果已经足够了。 不过如果用均值不等式来讨论的话，就要详细讨论x的取值范围和a的取值。 那样一样麻烦。 x∈(2kπ,2kπ+π/2),a>0.时，f(x)=sinx+2asinxcosx≤sinx+a,等号当且仅当x=π/4+2kπ 这里会发现，还得讨论a∈(0,1)上和sinx、cosx的大小比较。会比较麻烦。
f '(x)==2a(2(cosx)^2-1)
f '(x)=0
cosx=±sqrt(1/2)
最后换算成x的取值就好
再问： 你漏了一项还有个cosx的....有那么简单我也不会悬赏20分了
再答： 那就讨论a的一元二次函数的根就好了。 cosx+2a(2(cosx)^2-1)=0 讨论a=0时，cosx=0 a≠0时，就是求根公式啊 然后用三角反函数就可以得到 x=arccos[(-1±sqrt(1+32a^2))/8a] 或者x=arccos[(-1±sqrt(1+32a^2))/8a] + 2kπ （π=1，2，3，...）
再问： 正负号你怎么取？我只是想问问有没有什么简单的方法，比如均值之类的
再答： 直接写上面的结果已经足够了。 不过如果用均值不等式来讨论的话，就要详细讨论x的取值范围和a的取值。 那样一样麻烦。 x∈(2kπ,2kπ+π/2),a>0.时，f(x)=sinx+2asinxcosx≤sinx+a,等号当且仅当x=π/4+2kπ 这里会发现，还得讨论a∈(0,1)上和sinx、cosx的大小比较。会比较麻烦。
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