证明在光滑曲面F（x,y,z）=0上距原点距离最近的点的法线必过原点.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/02 16:12:20

首先如果曲面经过原点的话,那么曲面上距原点最近的点当然就是原点了,所以原点处曲面的法线当然经过原点.下面只证曲面不过原点的情况,设点(x,y,z)≠(0,0,0),则使该点到原点距离最小就是说使得x^2+y^2+z^2最小,由于所求点(x,y,z)要求在曲面上,所以问题转化为在约束条件F(x,y,z)=0下求x^2+y^2+z^2最小值的问题.根据拉格朗日乘数法,构造函数f(x,y,z,λ)=x^2+y^2+z^2-λF(x,y,z),对x求偏导并令其等于0,有2x-λF'x=0,同理可得x=λF'x/2,y=λF'y/2,z=λF'z/2（这里没必要计算出λ的具体数值）.写出曲面过点(λF'x/2,λF'y/2,λF'z/2)的法线方程：(x-λF'x/2)/F'x=(y-λF'y/2)/F'y=(z-λF'z/2)/F'z,将x=y=z=0代入上式,可以验证等式成立,因此法线经过原点.
再问：其实我也是这么做的，但是思路没你清晰，谢谢啦!
再答：不用谢，很高兴对你有帮助。

证明在光滑曲面F（x,y,z）=0上距原点距离最近的点的法线必过原点. 求曲面xy-z^2+1=0上离原点最近的点求在直线x+y=2上与原点距离最近的点的坐标. 在曲面z=xy上求一点,使该点处曲面的法线垂直于平面x+3y+z+9=0 求曲面z∧2-xy=1上到原点最近的点已知函数f(x)在定义域R上可导,设点P是函数y=f(x)的图像上距离原点O最近的点求曲面xyz=1上在第一卦限内,距离坐标原点最近的点处的切平面方程 1、曲面X^2+2Y^2+3Z=21在点（1,-2,2）的法线方程?2、点（1,1,1）到平面X-Y+Z+2=0的距离? 在曲面z=xy上求一点,使该点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0 求直线x+y=2上与原点距离最近的点的坐标求在直线y=2x+2上与原点距离最近的点的坐标! 在曲面z=xy上求一点,使在该点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0,并写出法线方程