己知函数f(x)=(mx+n)e-x在x=1处取得极值e-1
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/24 05:41:08
己知函数f(x)=(mx+n)e-x在x=1处取得极值e-1
(I )求函数f(x)的解析式,并求f(x)的单调区间;
(II )当.x∈(a,+∞)时,f(2x-a)+f(a)>2f(x),求a的取值范围.
(I )求函数f(x)的解析式,并求f(x)的单调区间;
(II )当.x∈(a,+∞)时,f(2x-a)+f(a)>2f(x),求a的取值范围.
(Ⅰ)由f(x)=(mx+n)e-x,得
f′(x)=-(mx+n-m)e-x.
依题意,f(1)=e-1,f′(1)=0,即
(m+n)e−1=e−1
−ne−1=0,解得m=1,n=0.
所以f(x)=xe-x.
f′(x)=-(x-1)e-x.
当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.
所以,函数f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减;
(Ⅱ)设g(x)=f(2x-a)+f(a)-2f(x),则g′(x)=2[f′(2x-a)-f′(x)].
设h(x)=f′(x)=-(x-1)e-x,则h′(x)=(x-2)e-x.
当x∈(-∞,2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.
(1)若a≥2,则当x∈(a,+∞)时,2x-a>x,h(2x-a)>h(x),即f′(2x-a)>2f′(x),
所以g′(x)>0,g(x)在(a,+∞)单调递增,此时g(x)>g(a)=0,
即f(2x-a)+f(a)-2f(x)>0.
(2)若a<2,则当x∈(a,
a+2
2)时,2x-a>x,h(2x-a)<h(x),即f′(2x-a)<2f′(x),
所以g′(x)<0,g(x)在(a,2)单调递减,此时g(x)<g(a)=0.
综上,a的取值范围是[2,+∞).
f′(x)=-(mx+n-m)e-x.
依题意,f(1)=e-1,f′(1)=0,即
(m+n)e−1=e−1
−ne−1=0,解得m=1,n=0.
所以f(x)=xe-x.
f′(x)=-(x-1)e-x.
当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.
所以,函数f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减;
(Ⅱ)设g(x)=f(2x-a)+f(a)-2f(x),则g′(x)=2[f′(2x-a)-f′(x)].
设h(x)=f′(x)=-(x-1)e-x,则h′(x)=(x-2)e-x.
当x∈(-∞,2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.
(1)若a≥2,则当x∈(a,+∞)时,2x-a>x,h(2x-a)>h(x),即f′(2x-a)>2f′(x),
所以g′(x)>0,g(x)在(a,+∞)单调递增,此时g(x)>g(a)=0,
即f(2x-a)+f(a)-2f(x)>0.
(2)若a<2,则当x∈(a,
a+2
2)时,2x-a>x,h(2x-a)<h(x),即f′(2x-a)<2f′(x),
所以g′(x)<0,g(x)在(a,2)单调递减,此时g(x)<g(a)=0.
综上,a的取值范围是[2,+∞).
已知函数f(x)=(mx+n)e-x在x=1处取得极值e-1
已知函数f(x)=ln(x+m),g(x)=e^x-1,F(x)=g(x)-f(x)在x=0处取得极值.
已知函数f(x)=12x4+bx3+cx2+dx+e(x∈R)在x=0和x=1处取得极值.
已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x在点x=1处取得极值
f(x)=e^x-ln(x+m)-1,若x=0,函数f(x)取得极值
已知函数f(x)=1/2x^4+bx^3+cx^2+dx+e分别在x=0处和x=1处取得极值
已知函数f(x)=mx/x^2+n(m,n属于R)在x=1处取得极值2 补充: 求f(x)的解析式 补充: 设函数g(x
已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值.
已知函数f(x)=(bx+c)lnx在x=1 e 处取得极值,且在x=1处的切线的斜率为1.
已知函数f(x)=-x^3-2mx^2-m^2x+1-m(其中m>-2)在点x=1处取得极值.(1)求m的值(2)求f(
已知函数f(x)=mx/(x的平方+n) ,m、n都属于R,在x=1处取得极大值2
【急】问一道 导数题y=e^x-1+m/x (m∈R)在x=1处有极值,且函数g(x)=f(x)-n在(0,+无穷)上有