作业帮线性代数…图中推论3,2是为什么啊?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 09:20:26
线性代数…图中推论3,2是为什么啊?
预备知识：1.对矩阵施行一次行初等变换相当于左乘一个初等矩阵、施行一次列变换相当于右乘一个初等矩阵；2.每个可逆矩阵都可经由有限次初等行变换化为单位阵,也可以经由有限次初等列变换化为单位阵.
设P是可逆矩阵.对PA作一次初等行变换就相当于左乘一个初等矩阵E1,根据矩阵乘法满足结合律的性质,E1(PA)=(E1P)A.注意到P是可逆矩阵,可以经由有限次初等行变换E1,E2,...,Ek化为单位矩阵I:Ek...E2E1P=I,于是,有(Ek...E2E1)(PA)=(Ek...E2E1P)A=IA=A,也就是说,PA可以经由k次初等变换化为A,根据定理3.1知,R(PA)=R(A).
类似地,有R(AQ)=R(A) 【Q可逆,可经由有限次初等列变换化为单位阵,即存在初等矩阵F1,F2,...Fj使得QF1F2...Fj=I,进而(AQ)F1F2...Fj=A(QF1F2...Fj)=AI=A】.
R(PAQ)=R(A) 【由Ek...E2E1P=I,QF1F2...Fj=I,有(Ek...E2E1)(PAQ)(F1F2...Fj)=(Ek...E2E1P)A(QEk...E2E1)=IAI=A】.
设P是可逆矩阵.对PA作一次初等行变换就相当于左乘一个初等矩阵E1,根据矩阵乘法满足结合律的性质,E1(PA)=(E1P)A.注意到P是可逆矩阵,可以经由有限次初等行变换E1,E2,...,Ek化为单位矩阵I:Ek...E2E1P=I,于是,有(Ek...E2E1)(PA)=(Ek...E2E1P)A=IA=A,也就是说,PA可以经由k次初等变换化为A,根据定理3.1知,R(PA)=R(A).
类似地,有R(AQ)=R(A) 【Q可逆,可经由有限次初等列变换化为单位阵,即存在初等矩阵F1,F2,...Fj使得QF1F2...Fj=I,进而(AQ)F1F2...Fj=A(QF1F2...Fj)=AI=A】.
R(PAQ)=R(A) 【由Ek...E2E1P=I,QF1F2...Fj=I,有(Ek...E2E1)(PAQ)(F1F2...Fj)=(Ek...E2E1P)A(QEk...E2E1)=IAI=A】.
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