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怎样证明∫(1/x) dx = ln | x | + C,尤其是Inx是怎么来的

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/19 03:10:19
怎样证明∫(1/x) dx = ln | x | + C,尤其是Inx是怎么来的
从导数做起.
d/dx ln|x| = 1/x
当x > 0,dln|x|/dx = d/dx lnx = 1/x
当x < 0,dln|x|/dx = d/dx ln(- x) = 1/(- x) · (- x)' = 1/(- x) · (- 1) = 1/x
结合起来就是∫ 1/x dx = ln|x| + C
y = lnx
dy/dx = lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)]/Δx
= lim(Δx→0) [ln(x + Δx) - lnx]/Δx
= lim(Δx→0) [ln((x + Δx))/x]/Δx
= lim(Δx→0) (1/Δx)ln(1 + Δx/x)
= lim(Δx→0) (1/x)(x/Δx)ln(1 + Δx/x)
= (1/x)ln[lim(Δx→0) (1 + 1/(x/Δx))^(x/Δx)],若令u = x/Δx,当Δx→0,u→∞
= (1/x)ln[lim(u→∞) (1 + 1/u)^u],重要公式lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e
= (1/x) · ln(e)
= 1/x · 1
= 1/x