在平面直角坐标系,矩形OABC中,OA=3,OC=2,E为AB中点,F在BC上,且BF=2CF

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/14 05:19:05

在平面直角坐标系,矩形OABC中,OA=3,OC=2,E为AB中点,F在BC上,且BF=2CF
(1)在x轴,y轴上是否存在点M,N,使得四边形MNFE的周长最小,若存在,求周长最小值,若不存在,请说明理由 (2)动点P在y轴上,且三角形EFP是等腰三角形,试求P的纵坐标b
矩形在第一象限中

◆本题中对于矩形顶点的位置表达不清楚,估计点A在X正半轴上,点C在Y正半轴上.
AB=OC=2,则AE=BE=1;BC=OA=3,BF=2CF,则CF=1,BF=2;EF=√(BE²+BF²)=√5.
取点F关于Y轴的对称点F',取点E关于X轴的对称点E',连接E'F',交X轴于M,交Y轴于N.
则此时四边形MNFE的周长最小.
∵点F和F'关于Y轴对称.
∴NF'=NF;同理可证:ME'=ME.
故NF+NM+ME+EF=NF'+NM+ME'+EF=√(BE'²+BF'²)+EF=√(9+16)+√5=5+√5;
①作EF的垂直平分线,交Y轴于P1,交BC于M,连接ME,则ME=MF.
设ME=MF=X,则BM=2-X.BM²+BE²=ME²,即(2-X)²+1²=X², X=5/4,CM=CF+MF=9/4.
∵∠CP1M=∠BFE(均为角FMP1的余角);∠P1CM=∠FBE=90度.
∴⊿P1CM∽⊿FBE,P1C/FB=CM/BE,P1C/2=(9/4)/1,P1C=9/2,P1O=P1C-OC=5/2,即b= -5/2;
②以F为圆心,以FE为半径作弧,交Y轴正半轴于P2,交Y轴负半轴于P3.
则P2C=√(P2F²-CF²)=2,OP2=4,即b=4;
P3F=EF=√5,则OC=√(P3F²-CF²)=2,故P3与O重合,即b=0.
故⊿EFP为等腰三角形时,P点的纵坐标b= -5/2、4或0.