作业帮 > 综合 > 作业

已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/13 17:21:15
已知函数f(x)=
1
3
ax
(I)因为f(x)=x(
1
3ax2+
1
2bx+c),又x1+x2+x3=
9
2,x2x3=6,则x1=0,x2+x3=
9
2,x2x3=6.
因为x2,x3是方程
1
3ax2+
1
2bx+c=0的两根,则-
3b
2a=
9
2,
3c
a=6.即b=-3a,c=2a.
又f(1)=
5
6,即
1
3a+
1
2b+c=
5
6,所以,
1
3a-
3
2a+2a=
5
6,即a=1,从而b=-3,c=2.
所以,f(x)=
1
3x3-
3
2x2+2x.  因为f'(x)=x2-3x+2,由x2-3x+2<0,得1<x<2.
故f(x)的单调递减区间是(1,2),单调递增区间是(-∞,1),(2+∞).
(Ⅱ)因为f'(x)=ax2+bx+c,f′(1)=-
1
2a,所以a+b+c=-
1
2a,即3a+2b+2c=0.
因为3a>2c>2b,所以3a>0,2b<0,即a>0,b<0.
于是f′(1)=-
a
2<0,f'(0)=c,f'(2)=4a+2b+c=4a-(3a+2c)+c=a-c.
(1)当c>0时,因为f′(0)=c>0,f′(1)=-
a
2<0,则f'(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.
(2)当c≤0时,因为f′(1)=-
a
2<0,f′(2)=a-c>0,则f'(x)在区间(1,2)内至少有一零点.
故导函数f'(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
(Ⅲ)设m,n是导函数f'(x)=ax2+bx+c的两个零点,则m+n=-
b
a,mn=
c
a=-
3
2-
b
a.
所以|m-n|=
(m+n)2-4mn=
(-
b
a)2-4(-
3
2-
b
a)=
(
b
a+2)2+2.
由已知,
(
b
a+2)2+2≥
3,则(
b
a+2)2+2≥3,即(
b
a+2)2≥1.
所以
b
a+2≥1或
b
a+2≤-1,即
b
a≥-1或
b
a≤-3.
又2c=-3a-2b,3a>2c>2b,所以,3a>-3a-2b>2b,即 -3a<b<-
3
4a.
因为a>0,所以-3<
b
a<-
3
4.
综上分析,
b
a的取值范围是[-1,-
3
4).