(2011•蓝山县模拟)已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx(a>0).
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/13 18:31:51
(2011•蓝山县模拟)已知函数f(x)=
ax
1 |
3 |
(1)因为函数f(x)=
1
3ax3+
1
2bx2+cx=x(
1
3ax2+
1
2bx+c)(a>0),又x1+x2+x3=-3,x1x2=-9,则x3=0,x1+x2=-3,x1x2=-9(1分)
因为x1,x2是方程
1
3ax2+
1
2bx+c=0的两根,
则−
3b
2a=−3,
3c
a=−9,得
b
a=2,
c
a=−3,(3分)
所以f′(x)=ax2+bx+c=a(x2+
b
ax+
c
a)=a(x2+2x-3)=a(x-1)(x+3).
令 f′(x)=0 解得:x=1,x=-3
故f(x)的单调递减区间是(-3,1),单调递增区间是(-∞,-3),(1,+∞). (5分)
(2)因为 f′(x)=ax2+bx+c,f′(1)=−
1
2a,,所以a+b+c=−
1
2a,即3a+2b+2c=0.
又a>0,3a>2c>2b,,所以3a>0,2b<0,即a>0.b<0.(7分)
于是f′(1)=−
1
2a<0,f′(0)=c,f′(2)=4a+2b+c=4a-(3a+2c)+c=a-c.(8分)
①当c>0时,因为f′(0)=c>0,f′(1)=−
1
2a<0,而f′(x)在区间(0,1)内连续,则f′(x)在区间(0,1)内至少有一个零点,设为x=m,则在x∈(0,m),f′(x)>0,
f(x)单调递增,在x∈(m,1),f′(x)<0,f(x)单调递减,故函数f(x)在区间(0,1)内有极大值点x=m; (9分)
②当c≤0时,因为f′(1)=−
1
2a<0,f′(2)=a-c>0,则f′(x)在区间(1,2)内至少有一零点.
同理,函数f(x)在区间(1,2)内有极小值点.
综上得函数f(x)在区间(0,2)内一定有极值点. (10分)
(3)设m,n是函数的两个极值点,则m,n也是导函数 f′(x)=ax2+bx+c=0的两个零点,由(2)得
3a+2b+2c=0,则m+n=-
b
a,mn=
c
a=−
3
2−
b
a.所以|m-n|=
1
3ax3+
1
2bx2+cx=x(
1
3ax2+
1
2bx+c)(a>0),又x1+x2+x3=-3,x1x2=-9,则x3=0,x1+x2=-3,x1x2=-9(1分)
因为x1,x2是方程
1
3ax2+
1
2bx+c=0的两根,
则−
3b
2a=−3,
3c
a=−9,得
b
a=2,
c
a=−3,(3分)
所以f′(x)=ax2+bx+c=a(x2+
b
ax+
c
a)=a(x2+2x-3)=a(x-1)(x+3).
令 f′(x)=0 解得:x=1,x=-3
故f(x)的单调递减区间是(-3,1),单调递增区间是(-∞,-3),(1,+∞). (5分)
(2)因为 f′(x)=ax2+bx+c,f′(1)=−
1
2a,,所以a+b+c=−
1
2a,即3a+2b+2c=0.
又a>0,3a>2c>2b,,所以3a>0,2b<0,即a>0.b<0.(7分)
于是f′(1)=−
1
2a<0,f′(0)=c,f′(2)=4a+2b+c=4a-(3a+2c)+c=a-c.(8分)
①当c>0时,因为f′(0)=c>0,f′(1)=−
1
2a<0,而f′(x)在区间(0,1)内连续,则f′(x)在区间(0,1)内至少有一个零点,设为x=m,则在x∈(0,m),f′(x)>0,
f(x)单调递增,在x∈(m,1),f′(x)<0,f(x)单调递减,故函数f(x)在区间(0,1)内有极大值点x=m; (9分)
②当c≤0时,因为f′(1)=−
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2a<0,f′(2)=a-c>0,则f′(x)在区间(1,2)内至少有一零点.
同理,函数f(x)在区间(1,2)内有极小值点.
综上得函数f(x)在区间(0,2)内一定有极值点. (10分)
(3)设m,n是函数的两个极值点,则m,n也是导函数 f′(x)=ax2+bx+c=0的两个零点,由(2)得
3a+2b+2c=0,则m+n=-
b
a,mn=
c
a=−
3
2−
b
a.所以|m-n|=
(2011•蓝山县模拟)已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx(a>0).
已知函数F(x)=13ax3+bx2+cx(a≠0),F'(-1)=0.
(2012•蓝山县模拟)设函数f(x)=13ax3+bx+cx(a≠0),已知a<b<c,且0≤ba<1,曲线y=f(x
(2012•蓝山县模拟)已知函数f(x)=lnx−12ax2+bx(a>0),且f′(1)=0.
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,则( )
已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d,方程f(x)=0
设函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)是增函数.(详题见补充)
已知定义在实数集R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d是实数.
(2013•眉山二模)已知函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的导函数为f(x),a+b+c=0,且f(0)
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象经过原点,f′(1)=0若f(x)在x=-1取得极大值2.
如果函数f(x)=13ax3+12bx2+cx,且f′(1)=−a2,3a>2c>2b,则下列结论不正确的是( )
(2011•江苏模拟)已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3;则2a+b=______.