作业帮线性代数的问题：已知A、B为m行n列的矩阵,且有r（A+B）=n,求证：AA^T+BB^T（^T转置的意思)为正定阵
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/17 15:32:01
线性代数的问题：已知A、B为m行n列的矩阵,且有r（A+B）=n,求证：AA^T+BB^T（^T转置的意思)为正定阵
^T转置的意思,打不出来不好意思
^T转置的意思,打不出来不好意思
题目有问题：
对于mxn矩阵,当m>n时,R(A+B) = n,不能保证mxm矩阵满秩,楼下给出了反例.
所证明结论应为：A'A+B'B正定,以下按此证明
证明：
由于R(A+B) = n,可知m≥n.因此对于非零n维向量X,有：
(A+B)X≠0 ==> AX+BX ≠ 0(向量)
==> AX,BX 不同时为0向量 (充分非必要条件)
因此向量的数量积 (AX)'AX, (BX)'BX不同时为零
显然(AX)'AX为向量AX的模,(AX)'AX ≥0,同样(BX)'BX≥0
由以上两点可得：
(AX)'AX + (BX)'BX >0
==> X'A'AX + X'B'BX >0
==> X'(A'A + B'B)X >0
即：对于任意n维非零向量X,有X'(A'A + B'B)X >0, (A'A + B'B) 正定
对于mxn矩阵,当m>n时,R(A+B) = n,不能保证mxm矩阵满秩,楼下给出了反例.
所证明结论应为：A'A+B'B正定,以下按此证明
证明：
由于R(A+B) = n,可知m≥n.因此对于非零n维向量X,有：
(A+B)X≠0 ==> AX+BX ≠ 0(向量)
==> AX,BX 不同时为0向量 (充分非必要条件)
因此向量的数量积 (AX)'AX, (BX)'BX不同时为零
显然(AX)'AX为向量AX的模,(AX)'AX ≥0,同样(BX)'BX≥0
由以上两点可得：
(AX)'AX + (BX)'BX >0
==> X'A'AX + X'B'BX >0
==> X'(A'A + B'B)X >0
即：对于任意n维非零向量X,有X'(A'A + B'B)X >0, (A'A + B'B) 正定
线性代数的问题：已知A、B为m行n列的矩阵,且有r（A+B）=n,求证：AA^T+BB^T（^T转置的意思)为正定阵
线性代数的题目设A,B分别为m*n,n*t的矩阵,求证：（1）若r（A）=n,则r(AB)=r(B) (2)若r(B)=
设A为m阶正定阵,B为m*n阶矩阵,证明：B^tAB为正定阵的充要条件为R（B）=n
线性代数问题：已知矩阵A为m*n,如何证明r(AB)=r(BA)=r(A)?其中B矩阵位A的转置矩阵.
线性代数问题：设A,B分别为m乘n,n乘t矩阵,求证(1)若r(A)=n,则r(AB)=r(B) (2)若r(B)=n,
设A是m行n列的矩阵,且线性方程组Ax = b有解.证明：A的转置的列空间R(A^T)必有Ax = b的解,且有且仅有一
线性代数一题设A是m×n阶矩阵,C是n的可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=ACC的秩为t,则下列结论正确的是（） A:>
大学线性代数:已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵.
设A为n阶正定矩阵,B为n*m阶矩阵,证明r(BTAB)=r(B) T为上标
n维列向量a的长度小于1,证明矩阵A=E-aa^T正定
线性代数问题 设a为n维列向量,且a∧Ta=1,矩阵A=E-2aa∧T,证明A是正交
设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵