已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=a（a≠0），an+1=rSn （n∈N*，r∈R，r≠-1）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/17 12:27:12

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁=a（a≠0），a_n+1=rS_n （n∈N^*，r∈R，r≠-1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若存在k∈N^*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2是否成等差数列，并证明你的结论．

（I）由已知a_n+1=rS_n，则a_n+2=rS_n+1，两式相减得
a_n+2-a_n+1=r（S_n+1-S_n）=ra_n+1
即a_n+2=（r+1）a_n+1
又 a₂=ra₁=ra
∴当r=0时，数列{a_n}为：a，0，0，…；
当r≠0时，由r≠-1，a≠0，∴a_n≠0
由a_n+2=（r+1）a_n+1得数列{a_n}从第二项开始为等比数列
∴当n≥2时，a_n=r（r+1）^n-2a
综上数列{a_n}的通项公式为an＝

a，n＝1
r(r+1)n−2a ，n≥2
（II）对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2成等差数列，理由如下：
当r=0时，由（I）知，an＝

a，n＝1
0，n≥2
∴对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2成等差数列；
当r≠0，r≠-1时
∵S_k+2=S_k+a_k+1+a_k+2，S_k+1=S_k+a_k+1
若存在k∈N^*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差数列，则2S_k=S_k+1+S_k+2
∴2S_k=2S_k+a_k+2+2a_k+1，即a_k+2=-2a_k+1
由（I）知，a₂，a₃，…，a_n，…的公比r+1=-2，于是
对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1=-2a_m，从而a_m+2=4a_m，
∴a_m+1+a_m+2=2a_m，即a_m+1，a_m，a_m+2成等差数列
综上，对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2成等差数列．

已知数列{an},其首项为a1(a1≠0且为常数),前n项和Sn满足：对任意的r,t∈N,都有Sr：St=r^2:t^2 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=a（a∈R），设数列{an}的前n项和为Sn，且a1、a2、a4恰为等比数列数列{an}的前n项和为Sn,已知A1=a,An+1=Sn+3^n（三的n次方）,n∈N* 已知数列{an}满足a1=1，an+1=Sn+（n+1）（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和，设数列{an}的前n项和为sn.已知a1=a,an+1=sn-3n,n∈N*,设bn=sn-3n,且bn≠0 等比数列{An}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+点（n,Sn）均在函数y=b^x+r(b>0)且b≠1,b,r均为已知数列{an}的前n项和为Sn,且（a-1)Sn=a（an-1）（a>0,n∈N*）已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+SnSn-1=0(n>=2,n∈N*),a1=1/2. 已知数列an的前n项和为sn,且满足sn=n²an-n²（n-1）,a1=1/2 1已知数列{an}前n项和为Sn,a1=1,n*S(n+1)-（n+1)*Sn=n²+cn(c∈R,n∈N*）等比数列｛An｝的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+,点（n,Sn）,均在函数y=b^x+r(b>0且b≠1,b,r均已知数列{an}满足a1=1,an-a(n+1)=ana(n+1),数列{an}的前n项和为Sn.(1)求证:{1/an