已知连续函数f(x)=∫(上限是3x,下限是0)f(t/3)dt+e^2x,求f(x).

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/05 04:14:55

两边求导得：f '(x)=f(x)*3+2e^(2x)
将x=0代入原式得：f(0)=1,这是初始条件.
先解微分方程 f '(x)=f(x)*3+2e^(2x)
即 f '(x)-3f(x)=2e^(2x),一阶线性微分方程,直接套公式
f(x)=e^(∫3dx)[∫ 2e^(2x)*e^(-∫3dx)dx+C]
=e^(3x)[∫ 2e^(2x)*e^(-3x)dx+C]
=e^(3x)[∫ 2e^(-x)dx+C]
=e^(3x)[-2e^(-x)+C]
=-2e^(2x)+Ce^(3x)
然后将x=0,f(0)=1代入得：C=3
f(x)=-2e^(2x)+3e^(3x)
再问：令∫(上限是3x,下限是0)f(t/3)dt=3∫(上限是x下限是0)f(x)dx=3a求出的结果为什么不一样，感觉做法没问题，求解
再答：一样的啊变量代换，令t/3=u，u：0-->x，dt=3du f(x)=∫(上限是3x,下限是0)f(t/3)dt+e^2x =3∫(上限是x,下限是0)f(u)du+e^2x f '(x)=3f(x)+2e^(2x) 与我前面的做法结果一样。注意：不能设为3a，这是变上限积分，不是定积分，结果不是常数。

已知连续函数f(x)=∫(上限是3x,下限是0)f(t/3)dt+e^2x,求f(x). f（x）是连续函数,满足f(x)=exp{∫f(t/3)dt},积分上限是3x ,下限是0,求f(x 设f（x）=x+2∫f(t)dt,积分上限是1,下限是0 其中f（x）为连续函数,求f（x）已知f(x)是一个连续函数,设F(x)=∫ [0,x]xf(t)dt,球F'(x) [0,x] 中0是下限 x是上限设f(x)是连续函数,且f(x)=x^2+2∫上限1下限0f(t)dt,试求：(1)∫上限1下限0f(x)dx;求详解? 设连续函数f(x)由方程∫（上限x.下限0)tf(t)dt=x^2+f(x)确定,求f(x) 设连续函数f(x)由方程∫（上限x.下限0)tf(t)dt=x^2+f(x)确定,求f(x) 请写出答案. 3.设f(x)是连续函数,且:∫(0为下限,x为上限)(x-t)f(t)dt=ln(x+根号(1+x^2)),求f(x) 已知f(x)=x-2∫f(t)dt 上限1 下限0 求f(x) 若f（t）为连续函数且为奇函数,证明：F（X）=∫f（t）dt（上限是X下限是0）是偶函数函数f(x)连续,且x=∫ f(t)dt 积分上限是(x^3 )-1 下限是0 ,求f(7) 设f（x）位连续函数.求d∫f（x+t）dt/dx 积分上限是2 下限是1