正四棱锥C-ABCD的高SO为2,底边AB为√2,求异面直线BD和SC之间的距离
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/31 04:07:26
正四棱锥C-ABCD的高SO为2,底边AB为√2,求异面直线BD和SC之间的距离
如图,BD⊥平面SOC
作OE⊥SC(E是垂足) .(1)
∵SO⊥底面ABCD(椎体高的定义)
,又BD∈底面ABCD,
∴SO⊥BD(,线面垂直性质定理)
又∵S-ABCD是正四棱锥(已知),
∴ABCD是正方形(正棱锥定义)
∴OC⊥BD(正方形性质)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/9e/19ee5c8c183ac5b454da373d1ee090d5.jpg)
因此,BD就⊥相交二直线CO和OS所在平面SOCE(线面垂直判定定理),
从而,OE⊥BD(线面垂直性质定理).. .(2)
由(1)、(2)可知,
OE是异面直线CS、BD的公垂线(定义),
其长度就是本题所求(定义).
直三角形SOC的斜边
SC=√SO^2+OC^2(勾股定理)
=√2^2+1^2(代换)
=√5
OE是直三角形SOC斜边OE上的高(作图),
直三角形SOC的面积
=(1/2)OE *SC(三角形面积公式)
=(√5/2)OE (代换) . (3)
又同一直三角形SOC的面积也
=二直角边之积之半,即
直三角形SOC的面积
=(1/2)SO*CO
=(1/2)*2*1
=1 . (4)
由(3)、(4)得
(√5/2)OE=1
OE=2√5/5,(此法是所谓“等面积法”.还有诸多类似的间接算法.)
这就是异面直线SC、BD间的距离.
(因不少提问者要求详细过程,本解答写的较长.加之介面上符号不够用,费时不短.但愿对基础知识和基本方法较差的提问者能有所帮助.)
作OE⊥SC(E是垂足) .(1)
∵SO⊥底面ABCD(椎体高的定义)
,又BD∈底面ABCD,
∴SO⊥BD(,线面垂直性质定理)
又∵S-ABCD是正四棱锥(已知),
∴ABCD是正方形(正棱锥定义)
∴OC⊥BD(正方形性质)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/9e/19ee5c8c183ac5b454da373d1ee090d5.jpg)
因此,BD就⊥相交二直线CO和OS所在平面SOCE(线面垂直判定定理),
从而,OE⊥BD(线面垂直性质定理).. .(2)
由(1)、(2)可知,
OE是异面直线CS、BD的公垂线(定义),
其长度就是本题所求(定义).
直三角形SOC的斜边
SC=√SO^2+OC^2(勾股定理)
=√2^2+1^2(代换)
=√5
OE是直三角形SOC斜边OE上的高(作图),
直三角形SOC的面积
=(1/2)OE *SC(三角形面积公式)
=(√5/2)OE (代换) . (3)
又同一直三角形SOC的面积也
=二直角边之积之半,即
直三角形SOC的面积
=(1/2)SO*CO
=(1/2)*2*1
=1 . (4)
由(3)、(4)得
(√5/2)OE=1
OE=2√5/5,(此法是所谓“等面积法”.还有诸多类似的间接算法.)
这就是异面直线SC、BD间的距离.
(因不少提问者要求详细过程,本解答写的较长.加之介面上符号不够用,费时不短.但愿对基础知识和基本方法较差的提问者能有所帮助.)
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