sn=-1/3-1/4-1/5……-1/(n+2)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 20:57:05
sn=-1/3-1/4-1/5……-1/(n+2)
sn该怎么求?(用n来表示)
希望有过程,越快越好.
sn该怎么求?(用n来表示)
希望有过程,越快越好.
形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数,它是 p=1 的p级数.
调和级数是发散级数.在n趋于无穷时其部分和没有极限(或部分和为无穷大).
很早就有数学家研究,比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的.他的方法很简单:
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...
1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
注意后一个级数每一项对应的分数都小于调合级数中每一项,而且后面级数的括号中的数值和都为1/2,这样的1/2有无穷多个,所以后一个级数是趋向无穷大的,进而调和级数也是发散的.
从更广泛的意义上讲,如果An是个不含0的等差数列,则1/An就称为调和数列,求和所得即为调和级数,易得,所有调和级数都是发散于无穷的.
调和级数的推导
随后很长一段时间,人们无法使用公式去逼近调合级数,直到无穷级数理论逐步成熟.1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数:
ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...
Euler(欧拉)在1734年,利用Newton的成果,首先获得了调和级数有限多项和的值.结果是:
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)
他的证明是这样的:
根据Newton的幂级数有:
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是:
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n,就给出:
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
.
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加,就得到:
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + .
后面那一串和都是收敛的,我们可以定义
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
Euler近似地计算了r的值,约为0.577218.这个数字就是后来称作的欧拉常数.不过遗憾的是,我们对这个常量还知之甚少,连这个数是有理数还是无理数都还是个谜.
调和级数是发散级数.在n趋于无穷时其部分和没有极限(或部分和为无穷大).
很早就有数学家研究,比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的.他的方法很简单:
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...
1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
注意后一个级数每一项对应的分数都小于调合级数中每一项,而且后面级数的括号中的数值和都为1/2,这样的1/2有无穷多个,所以后一个级数是趋向无穷大的,进而调和级数也是发散的.
从更广泛的意义上讲,如果An是个不含0的等差数列,则1/An就称为调和数列,求和所得即为调和级数,易得,所有调和级数都是发散于无穷的.
调和级数的推导
随后很长一段时间,人们无法使用公式去逼近调合级数,直到无穷级数理论逐步成熟.1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数:
ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...
Euler(欧拉)在1734年,利用Newton的成果,首先获得了调和级数有限多项和的值.结果是:
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)
他的证明是这样的:
根据Newton的幂级数有:
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是:
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n,就给出:
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
.
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加,就得到:
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + .
后面那一串和都是收敛的,我们可以定义
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
Euler近似地计算了r的值,约为0.577218.这个数字就是后来称作的欧拉常数.不过遗憾的是,我们对这个常量还知之甚少,连这个数是有理数还是无理数都还是个谜.
Sn=1x2+3x2^2+5x2^3+…+(2n-1)x2^n sn=2sn-sn
已知数列{an}的前n项和为Sn=1+2+3+4+…+n,求f(n)= Sn /(n+32)Sn+1的最大值
设Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1),则Sn=______.
已知Sn=2+5n+8n^2+…+(3n-1)n^n-1(n∈N*)求Sn
已知:Sn=1+1/2+1/3+……+1/n,用数学归纳法证明:Sn^2>1+n/2(n>=2,n∈N+)
Sn=1*2+3*2^2+5*2^3+……+(2n-1)*2^n 求Sn=
Sn=1-5+9-13+17-21+……+(-1)^n-1(4n-3),求Sn?
Sn=1+ 4/5 + 7/5² +……+ (3n-2)/5^(n-1)
求和:Sn=1*2*3+2*3*4+……+n(n+1)(n+2)
已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an+n2-4n(n=1,2,3,…).
求和:Sn=1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+……+n*1
Sn=1+1/2+1/3+……1/n Sn的表达式