超级难题
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/02 18:50:32
设k、a、b为正整数,k被a2,b2整除,所得的商分别为m、m+116. (1)若a、b互质,求证:a2-b2与a2、b2都互质 (2)当a、b互质时,求k的值 (3)若a、b的最大公约数为5,求k的值
解题思路: (1)假设出s是a2-b2与a2的最大公约数,得出a,b的关系为互质,得出s=1;证出a2-b2与a2、b2都互质; (2)由k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116,得出ma2=(m+116)b2得出(a2-b2)|116b2,得出a2-b2是116的约数,116=2×2×29,进而得出k的值; (3)假设a=5x,b=5y,得出x,y的最大公约数为1,得出m(x2-y2)=116(y)2进而得出k的值.
解题过程:
解:(1)设s为a2-b2与a2的最大公约数,
则a2-b2=su,a2=sv,u,v是正整数,
∴a2-(a2-b2)=b2=s(v-u),可见s是b2的约数,
∵a,b互质,
∴a2,b2互质,可见s=1.
即a2-b2与a2互质,同理可证a2-b2与b2互质;
(2)由题知:ma2=(m+116)b2,
m(a2-b2)=116b2,
∴(a2-b2)|116b2,
∵(a2-b2,b2)=(a2,b2)=1,
∵(a2-b2)|116,
所以a2-b2是116的约数,116=2×2×29,
a2-b2=(a-b)(a+b),
而a-b和a+b同奇偶性,且a,b互质,
∴a2-b2要么是4的倍数,要么是一个大于3的奇数,
∴(a-b)(a+b)=29 或(a-b)(a+b)=116,
∴a-b=1,a+b=29或a-b=1,a+b=116或a-b=2,a+b=58或a-b=4,a+b=29,
解得只有一组解符合条件,
a=15,b=14,
∴m(152-142)=116×142,
∴m=4×142=784,
∴k=784×152=176400;
(3)设a=5x,b=5y,即x,y的最大公约数为1,
则m(a2-b2)=116b2,
∴即m(25x2-25y2)=116(25y)2,
∴m(x2-y2)=116(y)2,
∵x,y互质,则有:m=24×72,
∴x=15,y=14,
a=75,b=70,m=784,
k=784×752=4410000.
最终答案:略
解题过程:
解:(1)设s为a2-b2与a2的最大公约数,
则a2-b2=su,a2=sv,u,v是正整数,
∴a2-(a2-b2)=b2=s(v-u),可见s是b2的约数,
∵a,b互质,
∴a2,b2互质,可见s=1.
即a2-b2与a2互质,同理可证a2-b2与b2互质;
(2)由题知:ma2=(m+116)b2,
m(a2-b2)=116b2,
∴(a2-b2)|116b2,
∵(a2-b2,b2)=(a2,b2)=1,
∵(a2-b2)|116,
所以a2-b2是116的约数,116=2×2×29,
a2-b2=(a-b)(a+b),
而a-b和a+b同奇偶性,且a,b互质,
∴a2-b2要么是4的倍数,要么是一个大于3的奇数,
∴(a-b)(a+b)=29 或(a-b)(a+b)=116,
∴a-b=1,a+b=29或a-b=1,a+b=116或a-b=2,a+b=58或a-b=4,a+b=29,
解得只有一组解符合条件,
a=15,b=14,
∴m(152-142)=116×142,
∴m=4×142=784,
∴k=784×152=176400;
(3)设a=5x,b=5y,即x,y的最大公约数为1,
则m(a2-b2)=116b2,
∴即m(25x2-25y2)=116(25y)2,
∴m(x2-y2)=116(y)2,
∵x,y互质,则有:m=24×72,
∴x=15,y=14,
a=75,b=70,m=784,
k=784×752=4410000.
最终答案:略