作业帮如果A为非零实对称矩阵,证明 对任意的正整数k,总有A的k次方不等于零
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/07/17 03:04:21
如果A为非零实对称矩阵,证明 对任意的正整数k,总有A的k次方不等于零
证明:因为实对称矩阵总可对角化
所以存在可逆矩阵P满足 A = Pdiag(a1,...,an)P^-1
由已知A非零,所以 r(A)=r(diag(a1,...,an))>0
--即有A的非零特征值的个数等于A的秩
而 A^k = Pdiag(a1,...,an)^kP^-1 = Pdiag(a1^k,...,an^k)P^-1
所以 r(A^k)=r(diag(a1^k,...,an^k))=r(diag(a1,...,an))=r(A)>0
所以 A^k≠0.
再问： 再问你道题 若矩阵A和B的乘积AB可逆，则矩阵A和B 都可逆 对吗？求详细解答 感觉你很专业所以不想问其他人了 回答有加分哦 谢谢
再答： 不对. A,B可能不是方阵 新问题请去提问 没分我也一样解答
所以存在可逆矩阵P满足 A = Pdiag(a1,...,an)P^-1
由已知A非零,所以 r(A)=r(diag(a1,...,an))>0
--即有A的非零特征值的个数等于A的秩
而 A^k = Pdiag(a1,...,an)^kP^-1 = Pdiag(a1^k,...,an^k)P^-1
所以 r(A^k)=r(diag(a1^k,...,an^k))=r(diag(a1,...,an))=r(A)>0
所以 A^k≠0.
再问： 再问你道题 若矩阵A和B的乘积AB可逆，则矩阵A和B 都可逆 对吗？求详细解答 感觉你很专业所以不想问其他人了 回答有加分哦 谢谢
再答： 不对. A,B可能不是方阵 新问题请去提问 没分我也一样解答
如果A为非零实对称矩阵,证明 对任意的正整数k,总有A的k次方不等于零
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