高中椭圆解析几何题在平面直角坐标系xOy中,已知三点A(-1,0),B(1,0),C(-1,3/2),以A,B为焦点的椭

高中椭圆解析几何题
在平面直角坐标系xOy中,已知三点A(-1,0),B(1,0),C(-1,3/2),以A,B为焦点的椭圆经过点C
1,求椭圆方程
2,设点D（0.1）,是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同点M,N,使（向量DM+向量DN)*向量MN=0?若存在,求出直线l斜率的取值范围；若不存在,请说明理由
3.对于y轴上的点P（0,n)(n≠0）,存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M,N,使（向量PM+向量PN)向量MN=0,试求实数n的取值范围

这题就是要充分使用“设而不求”这一圆锥曲线的经典解题思想.
以下 (^2)为平方的意思.
1. A,B为焦点,所以焦距为1,于是可设椭圆方程为：
x^2/a^2 + y^2/(a^2-1) = 1 （要求a^2 > 1,这是因为以A,B为焦点说明长轴必然在x轴上）
代入C点坐标,化简后得到：
4a^4 - 17a^2 + 4 = 0,因式分解为(4a^2 - 1)(a^2 - 4)=0,由于a^2必须大于1,所以a^2 = 4,原椭圆方程为：x^2 / 4 + y^2 / 3 = 1.
第2问和第3问可以连在一起解,因为2就是3的特例,所以先解第三题.
首先注意到直线可以和y轴平行,这种情况下唯一满足题设条件的解是n = 0,但是题设又规定n不能为零,所以我们可以设直线方程为y = kx + b （其中k不为零,因为必须不和x轴平行）,交点坐标M(x1, y1),N(x2, y2),因为（向量DM+向量DN)*向量MN=0,所以,
[ (x1, y1 - n) + (x2, y2 - n) ]* (x2 - x1, y2 - y1) = 0,得到：
x2^2 - x1^2 + y2^2 - y1^2 = 2n(y2 - y1) ,
对该式,我们先用平方差公式分解左边第一项和第二项,使x2-x1,y2-y1项出现,然后两边同时除以该项,利用直线斜率k = (y2-y1)/(x2-x1),就得到：
x1+x2 + k(y2 + y1) = 2nk ,然后我们代入直线方程y = kx + b,得到：
x1 + x2 + k^2(x1 + x2) + 2bk = 2nk,即
(k^2 + 1)(x1 + x2) = 2k (n-b) (1)
另一方面,我们联立直线方程和椭圆方程,消去y,化简后得到如下一元二次方程：
(3+4k^2)x^2 + 8kbx + (4b^2 - 12) = 0 (2)
该方程必须有两个不同的实数根,所以判别式：
64k^2*b^2 - 4(3+4k^2)(4b^2-12) > 0,化简为
4k^2 - b^2 + 3>0,或者
b^2 < 4k^2 + 3 (3)
再利用根与系数的关系,有x1 + x2 = -8kb/(3+4k^2),将此式代入（1）,得到：
- 8kb(k^2 + 1) / (3+4k^2) = 2k(n-b),化简得到：
n = -b/(3 + 4k^2) (4)
然后从（4）里解出4k^2,然后代入到（3）,就有：
b^2 + b/n < 0 (5)
题设问的是求n的取值范围使得直线l存在,在这儿就是求n的范围使得这个不等式有实数解,同时还必须满足等式（4）.注意,由于（4）式解出4k^2的表达式为：
4k^2 = - (b/n + 3) > 0 (k不等于0)
所以要让直线l存在,b/n + 3就必须是负数,也就是说,不等式（5）解出来的b的范围,必须满足b/n + 3是负数这个条件,否则就会造成无解.为了解出不等式（5）,我们分情况讨论：
如果n>0,那么不等式（5）的解是 -1/n < b < 0,在这个范围内是无论如何也无法保证 b/n + 3一定是负数的（画数轴可以很快看到,-1/n < b < 0的区间段不可能是b/n + 3 0,那么（5）的解就是 0 < b < -1/n,而b/n + 3 -3n（注意n此时为负数）,这也是不可能的.
所以综合来看,当且仅当n=0（请看一开始讨论直线和y轴平行的情况）或者直线l和x轴平行,直线l才存在.第三问要找的范围是空集,第二问只是n=1的特例,显然也没有这样的直线.
第三问答案：空集；
第二问答案：不存在.