幂平均不等式及琴生不等式的证明,不要跨太多步骤

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/05 23:33:57

下面只对凸函数加以证明.
首先我们对n是2的幂加以证明,用数学归纳法
假设对于n=2^k琴生不等式成立,那么对于n=2^(k 1)
(f(x1) f(x2) ...f(xn))/n
=((f(x1) f(x2) ...f(x(n/2)))/(n/2) (f(x(n/2 1)) ...f(xn))/(n/2))/2
≥(f(（(x1 x2 ...x(n/2)）/(n/2)) f((x(n/2 1) ...xn)/(n/2)))/2
≥f(((（(x1 x2 ...x(n/2)）/(n/2) (x(n/2 1) ...xn)/(n/2)))/2)
=f((x1 x2 ...xn)/n)
所以对于所有2的幂,琴生不等式成立.
现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂,我们可以找到一个k,使得2^k>n
然后我们设
x(n 1)=x(n 2)=...=x(2^k)=(x1 x2 ...xn)/n
代入2^k阶的琴生不等式结论,整理后就可以得到结论.
现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式
(x1^2 x2^2 ...xn^2)/n>=[(x1 x2 ...xn)/n]^2
显然,我们可以查看函数f(x)=x^2
由于
(f(x1) f(x2))/2=(x1^2 x2^2)/2=(2x1^2 2x2^2)/4≥(x1^2 x2^2 2x1x2 (x1-x2)^2)/4≥(x1^2 x2^2 2x1x2)/4=((x1 x2)/2)^2
所以f(x)=x^2是凸函数
所以我们可以得到,对于任意x1,x2,...,xn,
有(f(x1) f(x2) ...f(xn))/n≥f((x1 x2 ...xn)/n)
也就是n阶平方平均不等式.
再问：谢谢了，你真厉害

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