（2013•河南模拟）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）是f（x）的导函数，且 xf′（x）-

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/10/04 04:41:30

（2013•河南模拟）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）是f（x）的导函数，且 xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立．
（1）求函数F（x）=

f(x)

（1）根据题意，对于x∈（0，+∞），F′（x）=
xf′(x)−f(x)
x2＞0；
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）是F（x）的单调递增区间．
（2）f′（x）=
1
x+2ax，
∴x(
1
x+2ax)−lnx−ax2＞0；
∴ax²-lnx+1＞0；
∴a＞
lnx−1
x2，
令g（x）=
lnx−1
x2，g′（x）=
3−2lnx
x3，
令
3−2lnx
x3＝0得：x=e
3
2；
∴x∈（0，e
3
2）时，g′（x）＞0；x∈（e
3
2，+∞）时，g′（x）＜0；
∴x=e
3
2时，g（x）取到极大g（e
3
2）=
1
2e−
3
2，也是最大值；
∴a的取值范围是（
1
2e−
3
2，+∞）．
（3）根据（1）知在（0，x₀）上，
f(x)
x是增函数，
∴x∈（0，x₀）时，
f(x)
x＜
f(x0)
x0=0，∴f（x）＜0；
∵m+n＞m，m+n＞n
∴
f(m+n)
m+n＞
f(m)
m，
f(m+n)
m+n＞
f(n)
n．
∴f(m)＜
mf(m+n)
m+n

（2013•河南模拟）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）是f（x）的导函数，且 xf′（x）- 定义域R的奇函数f(x)在(0,+∞）上是增函数且f(-3)=0,求不等式xf(x)0,f(x)0,f(x) 定义域为（0，+∞）的可导函数f（x）满足xf′（x）＞f（x）且f（2）=0，则f(x)x＜0的解集为（　　）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,当x＞0时,f（x）满足：2f（x）+xf′（x）＞xf（x）,则f（x）在区间[ 定义在R上的可导函数f（x）的导函数f′（x），且xf′（x）+f（x）＞0，那么12f(1)与f（2）的大小关系是（一直函数f(x)的定义域是(0,+∞),f(x)是f(x)的导函数,且xf(x)-f(x)>0 已知函数f（x）是定义域在实数R上的不恒为0的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1）=（1+x).f(x),则f（2\ 已知f'(x)是函数f(x)的导函数,f(x)=sinx+2xf'(0),则f'（派/2）= 已知函数f(x)的定义域是（0,正无穷）,当x>1时,f(x)>0,且f(xy)=f(x)+f(y). 已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f 已知函数y=f(x)的定义域为（0,正无穷）,且f(x)=2f(1/x)+x,则f(x) 是已知函数y是在定义域R上的不恒为0的偶函数,且对任意实数x都有xf（x+1）=(x+1)f（x）,则f【f（5/2）】的