X是局紧的Hausdorff空间,X上的每个线性泛函连续的充要条件是X是有限维的必要性怎么证明

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/11/08 09:09:00

X是局紧的Hausdorff空间,X上的每个线性泛函连续的充要条件是X是有限维的必要性怎么证明
X是紧Hausdorff空间

如果没说X是Banach空间,那么我不太清楚什么是X上的“线性”泛函,因为X本身没有线性结构.如果X本身是Banach空间,X局部紧,就说明原点周围有个球是紧的,而无穷维的Banach空间中的单位球不是紧的.
我想你这个题里的空间可能没有预先说是一个Banach空间,但应该是个线性空间.如果一个Banach空间的“每个”线性泛函都是连续的,那么它就必须是有限维的,从而是局部紧的.也就是说,对于Banach空间来讲（总是Hausdorff的）,以下三条中是等价的,即任意一条可以推出另外两条（而不是必须有其中两条才能推出剩下的一条）：
1、X局部紧；
2、X上的每个线性泛函连续；
3、X是有限维的.
我的想法可能有点乱.抱歉.
再问： X首先是banach空间
再答：如果是Banach空间，可以这样想：假如不是有限维的话，取独立的单位向量e_1,e_2,e_3,...，然后做一个线性泛函L，使得L(e_1)=1，L(e_2)=2，L(e_3)=3，...，然后线性延拓到整个空间。这个L容易看出来是无界的，因为L(e_n)=n，而e_n是单位向量。

X是局紧的Hausdorff空间,X上的每个线性泛函连续的充要条件是X是有限维的必要性怎么证明由界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的充要条件是f(x)在[a,b]上几乎处处连续的证明证明同维数的两个有限维线性空间是内积同构一道简单的泛函分析题假设φ为完备空间X上的线性、等距映射,φ的象集合为φ(X),试证明：φ(X)是闭的. 怎样用线性空间的定义证明：0x=0 证明：线性方程组AX=B有解的充要条件是：B与A’X=0的解空间正交. 是个线性空间的证明题怎么证明? 证明：函数f(x)=sin(x)/x在(0,1)上是一致连续的怎样证明域K上线性空间X中向量加法0元素的唯一性? 求证：关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a小于等于1.从充分性和必要性两个方面证明. 函数fx具有一阶连续导数,证明Fx=(1+|sinx|)f(x)在x=0处可导的充要条件是f（0）=0. 同构的充要条件是两个线性空间的维数相同?为什么?