作业帮线性代数 证明题1.设A,B,C,D都是n阶矩阵,r(CA+DB)=n (1)证明：r( A )( B )=n (A,B
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 08:04:07
线性代数 证明题
1.设A,B,C,D都是n阶矩阵,r(CA+DB)=n
(1)证明：r( A )
( B )=n
(A,B为上下放置)
(2)设ξ1,ξ2,...ξ r与η1,η2,...η s分别为方程组AX=O与BX=O的基础解系,证明ξ1,ξ2,...ξ r,η1,η2,...η s线性无关.
2.设A为n阶矩阵,A11=!0,证明:非齐线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A的伴随矩阵与b的积为0（A*b=O）.
(A
B)的秩为n，AB为上下位置（A/B）
A11!=0
1.设A,B,C,D都是n阶矩阵,r(CA+DB)=n
(1)证明：r( A )
( B )=n
(A,B为上下放置)
(2)设ξ1,ξ2,...ξ r与η1,η2,...η s分别为方程组AX=O与BX=O的基础解系,证明ξ1,ξ2,...ξ r,η1,η2,...η s线性无关.
2.设A为n阶矩阵,A11=!0,证明:非齐线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A的伴随矩阵与b的积为0（A*b=O）.
(A
B)的秩为n，AB为上下位置（A/B）
A11!=0
1、为书写方便,以下记矩阵G＝(A/B),A上B下
（1）方程组Gx＝0的解都是(CD+AB)x＝0的解,二r(CD+AB)＝n,所以(CD+AB)x＝0只有零解,所以Gx＝0只有零解,所以r(G)＝r(A/B)＝n
（2）设k1ξ1＋k2ξ2＋…＋krξr＋t1η1＋t2η2＋…＋tsηs＝0,所以A(k1ξ1＋k2ξ2＋…＋krξr＋t1η1＋t2η2＋…＋tsηs)＝A(t1η1＋t2η2＋…＋tsηs)＝0.所以t1η1＋t2η2＋…＋tsηs是Gx＝0的解,因为r(G)＝n,所以t1η1＋t2η2＋…＋tsηs＝0.所以k1ξ1＋k2ξ2＋…＋krξr＝0.再由ξ1,ξ2,...ξr与η1,η2,...ηs都线性无关,得k1＝k2＝…＝kr＝t1＝t2＝…＝ts＝0,所以ξ1,ξ2,...ξr,η1,η2,...ηs线性无关.
（1）方程组Gx＝0的解都是(CD+AB)x＝0的解,二r(CD+AB)＝n,所以(CD+AB)x＝0只有零解,所以Gx＝0只有零解,所以r(G)＝r(A/B)＝n
（2）设k1ξ1＋k2ξ2＋…＋krξr＋t1η1＋t2η2＋…＋tsηs＝0,所以A(k1ξ1＋k2ξ2＋…＋krξr＋t1η1＋t2η2＋…＋tsηs)＝A(t1η1＋t2η2＋…＋tsηs)＝0.所以t1η1＋t2η2＋…＋tsηs是Gx＝0的解,因为r(G)＝n,所以t1η1＋t2η2＋…＋tsηs＝0.所以k1ξ1＋k2ξ2＋…＋krξr＝0.再由ξ1,ξ2,...ξr与η1,η2,...ηs都线性无关,得k1＝k2＝…＝kr＝t1＝t2＝…＝ts＝0,所以ξ1,ξ2,...ξr,η1,η2,...ηs线性无关.
线性代数 证明题1.设A,B,C,D都是n阶矩阵,r(CA+DB)=n (1)证明：r( A )( B )=n (A,B
设A、B都是n阶矩阵,且AB=O,证明R(A)+R(B)
设A,B都是N阶矩阵,且AB=0,证明R(A)+R(B)〈=N
线性代数设A`B都是n阶方阵,证明若AB=O则r(A)+r(B)
（线性代数）设A,B为n阶方阵,证明:r(AB)>=r(A)+r(B)-n
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线性代数证明题设A、B都是n阶方阵,且AB=0,证明R（A）+R（B）小于等于n.老师上课说了,是r（AB）大于等于R（
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