作业帮线性代数的解题方法和运算方法
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 03:56:03
线性代数的解题方法和运算方法
1、行列式
1. 行列式共有 个元素,展开后有 项,可分解为 行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、 和 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；
3. 代数余子式和余子式的关系：
4. 设 行列式 ：
将 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为 ,则 ；
将 顺时针或逆时针旋转 ,所得行列式为 ,则 ；
将 主对角线翻转后（转置）,所得行列式为 ,则 ；
将 主副角线翻转后,所得行列式为 ,则 ；
5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；
③、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积；
④、 和 ：副对角元素的乘积 ；
⑤、拉普拉斯展开式： 、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6. 对于 阶行列式 ,恒有： ,其中 为 阶主子式；
7. 证明 的方法：
①、 ；
②、反证法；
③、构造齐次方程组 ,证明其有非零解；
④、利用秩,证明 ；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1. 是 阶可逆矩阵：
（是非奇异矩阵）；
（是满秩矩阵）
的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组 有非零解；
, 总有唯一解；
与 等价；
可表示成若干个初等矩阵的乘积；
的特征值全不为0；
是正定矩阵；
的行（列）向量组是 的一组基；
是 中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；
3.
4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值,可求代数和；
5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均 、 可逆：
若 ,则：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ；
②、 ；（主对角分块）
③、 ；（副对角分块）
④、 ；（拉普拉斯）
⑤、 ；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个 矩阵 ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的： ；
等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵 、 ,若 ；
2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似,或转置后采用初等行变换）
①、 若 ,则 可逆,且 ；
②、对矩阵 做初等行变化,当 变为 时, 就变成 ,即： ；
③、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ,如果 ,则 可逆,且 ；
4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、 ,左乘矩阵 , 乘 的各行元素；右乘, 乘 的各列元素；
③、对调两行或两列,符号 ,且 ,例如： ；
④、倍乘某行或某列,符号 ,且 ,例如： ；
⑤、倍加某行或某列,符号 ,且 ,如： ；
5. 矩阵秩的基本性质：
①、 ；
②、 ；
③、若 ,则 ；
④、若 、 可逆,则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
⑤、 ；（※）
⑥、 ；（※）
⑦、 ；（※）
⑧、如果 是 矩阵, 是 矩阵,且 ,则：（※）
Ⅰ、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、
⑨、若 、 均为 阶方阵,则 ；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式,再采用结合律；
②、型如 的矩阵：利用二项展开式；
二项展开式： ；
注：Ⅰ、 展开后有 项；
Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质： ；
③、利用特征值和相似对角化：
7. 伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩： ；
②、伴随矩阵的特征值： ；
③、 、
8. 关于 矩阵秩的描述：
①、 , 中有 阶子式不为0, 阶子式全部为0；（两句话）
②、 , 中有 阶子式全部为0；
③、 , 中有 阶子式不为0；
9. 线性方程组： ,其中 为 矩阵,则：
①、 与方程的个数相同,即方程组 有 个方程；
②、 与方程组得未知数个数相同,方程组 为 元方程；
10. 线性方程组 的求
①、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解；
③、特自由变量赋初值后求得；
11. 由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：
①、 ；
②、 （向量方程, 为 矩阵, 个方程, 个未知数）
③、 （全部按列分块,其中 ）；
④、 （线性表出）
⑤、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1. 个 维列向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；
个 维行向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）
③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）
3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；( 例14)
4. ；( 例15)
5. 维向量线性相关的几何意义：
①、 线性相关 ；
②、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）；
③、 线性相关 共面；
6. 线性相关与无关的两套定理：
若 线性相关,则 必线性相关；
若 线性无关,则 必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶）
若 维向量组 的每个向量上添上 个分量,构成 维向量组 ：
若 线性无关,则 也线性无关；反之若 线性相关,则 也线性相关；（向量组的维数加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关,反之,不确定；
7. 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示,且 线性无关,则 (二版 定理7)；
向量组 能由向量组 线性表示,则 ；（ 定理3）
向量组 能由向量组 线性表示
有解；
（ 定理2）
向量组 能由向量组 等价 （ 定理2推论）
8. 方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ,使 ；
①、矩阵行等价： （左乘, 可逆） 与 同解
②、矩阵列等价： （右乘, 可逆）；
③、矩阵等价： （ 、 可逆）；
9. 对于矩阵 与 ：
①、若 与 行等价,则 与 的行秩相等；
②、若 与 行等价,则 与 同解,且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
④、矩阵 的行秩等于列秩；
10. 若 ,则：
①、 的列向量组能由 的列向量组线性表示, 为系数矩阵；
②、 的行向量组能由 的行向量组线性表示, 为系数矩阵；（转置）
11. 齐次方程组 的解一定是 的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明；
①、 只有零解 只有零解；
②、 有非零解 一定存在非零解；
12. 设向量组 可由向量组 线性表示为：（ 题19结论）
（ ）
其中 为 ,且 线性无关,则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性）
（必要性： ；充分性：反证法）
注：当 时, 为方阵,可当作定理使用；
13. ①、对矩阵 ,存在 , 、 的列向量线性无关；（ ）
②、对矩阵 ,存在 , 、 的行向量线性无关；
14. 线性相关
存在一组不全为0的数 ,使得 成立；（定义）
有非零解,即 有非零解；
,系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15. 设 的矩阵 的秩为 ,则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ；
16. 若 为 的一个解, 为 的一个基础解系,则 线性无关；（ 题33结论）
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵 或 （定义）,性质：
①、 的列向量都是单位向量,且两两正交,即 ；
②、若 为正交矩阵,则 也为正交阵,且 ；
③、若 、 正交阵,则 也是正交阵；
注意：求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化；
2. 施密特正交化：
；
;
3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交；
4. ①、 与 等价 经过初等变换得到 ；
, 、 可逆；
, 、 同型；
②、 与 合同 ,其中可逆；
与 有相同的正、负惯性指数；
③、 与 相似 ；
5. 相似一定合同、合同未必相似；
若 为正交矩阵,则 ,（合同、相似的约束条件不同,相似的更严格）；
6. 为对称阵,则 为二次型矩阵；
7. 元二次型 为正定：
的正惯性指数为 ；
与 合同,即存在可逆矩阵 ,使 ；
的所有特征值均为正数；
的各阶顺序主子式均大于0；
；(必要条件)
1. 行列式共有 个元素,展开后有 项,可分解为 行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、 和 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；
3. 代数余子式和余子式的关系：
4. 设 行列式 ：
将 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为 ,则 ；
将 顺时针或逆时针旋转 ,所得行列式为 ,则 ；
将 主对角线翻转后（转置）,所得行列式为 ,则 ；
将 主副角线翻转后,所得行列式为 ,则 ；
5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；
③、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积；
④、 和 ：副对角元素的乘积 ；
⑤、拉普拉斯展开式： 、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6. 对于 阶行列式 ,恒有： ,其中 为 阶主子式；
7. 证明 的方法：
①、 ；
②、反证法；
③、构造齐次方程组 ,证明其有非零解；
④、利用秩,证明 ；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1. 是 阶可逆矩阵：
（是非奇异矩阵）；
（是满秩矩阵）
的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组 有非零解；
, 总有唯一解；
与 等价；
可表示成若干个初等矩阵的乘积；
的特征值全不为0；
是正定矩阵；
的行（列）向量组是 的一组基；
是 中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；
3.
4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值,可求代数和；
5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均 、 可逆：
若 ,则：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ；
②、 ；（主对角分块）
③、 ；（副对角分块）
④、 ；（拉普拉斯）
⑤、 ；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个 矩阵 ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的： ；
等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵 、 ,若 ；
2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似,或转置后采用初等行变换）
①、 若 ,则 可逆,且 ；
②、对矩阵 做初等行变化,当 变为 时, 就变成 ,即： ；
③、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ,如果 ,则 可逆,且 ；
4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、 ,左乘矩阵 , 乘 的各行元素；右乘, 乘 的各列元素；
③、对调两行或两列,符号 ,且 ,例如： ；
④、倍乘某行或某列,符号 ,且 ,例如： ；
⑤、倍加某行或某列,符号 ,且 ,如： ；
5. 矩阵秩的基本性质：
①、 ；
②、 ；
③、若 ,则 ；
④、若 、 可逆,则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
⑤、 ；（※）
⑥、 ；（※）
⑦、 ；（※）
⑧、如果 是 矩阵, 是 矩阵,且 ,则：（※）
Ⅰ、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、
⑨、若 、 均为 阶方阵,则 ；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式,再采用结合律；
②、型如 的矩阵：利用二项展开式；
二项展开式： ；
注：Ⅰ、 展开后有 项；
Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质： ；
③、利用特征值和相似对角化：
7. 伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩： ；
②、伴随矩阵的特征值： ；
③、 、
8. 关于 矩阵秩的描述：
①、 , 中有 阶子式不为0, 阶子式全部为0；（两句话）
②、 , 中有 阶子式全部为0；
③、 , 中有 阶子式不为0；
9. 线性方程组： ,其中 为 矩阵,则：
①、 与方程的个数相同,即方程组 有 个方程；
②、 与方程组得未知数个数相同,方程组 为 元方程；
10. 线性方程组 的求
①、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解；
③、特自由变量赋初值后求得；
11. 由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：
①、 ；
②、 （向量方程, 为 矩阵, 个方程, 个未知数）
③、 （全部按列分块,其中 ）；
④、 （线性表出）
⑤、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1. 个 维列向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；
个 维行向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）
③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）
3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；( 例14)
4. ；( 例15)
5. 维向量线性相关的几何意义：
①、 线性相关 ；
②、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）；
③、 线性相关 共面；
6. 线性相关与无关的两套定理：
若 线性相关,则 必线性相关；
若 线性无关,则 必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶）
若 维向量组 的每个向量上添上 个分量,构成 维向量组 ：
若 线性无关,则 也线性无关；反之若 线性相关,则 也线性相关；（向量组的维数加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关,反之,不确定；
7. 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示,且 线性无关,则 (二版 定理7)；
向量组 能由向量组 线性表示,则 ；（ 定理3）
向量组 能由向量组 线性表示
有解；
（ 定理2）
向量组 能由向量组 等价 （ 定理2推论）
8. 方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ,使 ；
①、矩阵行等价： （左乘, 可逆） 与 同解
②、矩阵列等价： （右乘, 可逆）；
③、矩阵等价： （ 、 可逆）；
9. 对于矩阵 与 ：
①、若 与 行等价,则 与 的行秩相等；
②、若 与 行等价,则 与 同解,且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
④、矩阵 的行秩等于列秩；
10. 若 ,则：
①、 的列向量组能由 的列向量组线性表示, 为系数矩阵；
②、 的行向量组能由 的行向量组线性表示, 为系数矩阵；（转置）
11. 齐次方程组 的解一定是 的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明；
①、 只有零解 只有零解；
②、 有非零解 一定存在非零解；
12. 设向量组 可由向量组 线性表示为：（ 题19结论）
（ ）
其中 为 ,且 线性无关,则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性）
（必要性： ；充分性：反证法）
注：当 时, 为方阵,可当作定理使用；
13. ①、对矩阵 ,存在 , 、 的列向量线性无关；（ ）
②、对矩阵 ,存在 , 、 的行向量线性无关；
14. 线性相关
存在一组不全为0的数 ,使得 成立；（定义）
有非零解,即 有非零解；
,系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15. 设 的矩阵 的秩为 ,则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ；
16. 若 为 的一个解, 为 的一个基础解系,则 线性无关；（ 题33结论）
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵 或 （定义）,性质：
①、 的列向量都是单位向量,且两两正交,即 ；
②、若 为正交矩阵,则 也为正交阵,且 ；
③、若 、 正交阵,则 也是正交阵；
注意：求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化；
2. 施密特正交化：
；
;
3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交；
4. ①、 与 等价 经过初等变换得到 ；
, 、 可逆；
, 、 同型；
②、 与 合同 ,其中可逆；
与 有相同的正、负惯性指数；
③、 与 相似 ；
5. 相似一定合同、合同未必相似；
若 为正交矩阵,则 ,（合同、相似的约束条件不同,相似的更严格）；
6. 为对称阵,则 为二次型矩阵；
7. 元二次型 为正定：
的正惯性指数为 ；
与 合同,即存在可逆矩阵 ,使 ；
的所有特征值均为正数；
的各阶顺序主子式均大于0；
；(必要条件)