作业帮线性代数的问题设A是三阶矩阵,且I＋A,3I－A,I－3A均不可逆证明：（1）A是可逆矩阵（2）A与对角阵相似
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/17 22:27:05
线性代数的问题
设A是三阶矩阵,且I＋A,3I－A,I－3A均不可逆
证明：（1）A是可逆矩阵
（2）A与对角阵相似
设A是三阶矩阵,且I＋A,3I－A,I－3A均不可逆
证明：（1）A是可逆矩阵
（2）A与对角阵相似
（1）因为I＋A,3I－A,I－3A均不可逆
所以取行列式：│I＋A│=0,│3I－A│=0,│I－3A│=0
所以A有三个特征值：λ1=-1,λ2=3,λ3=1/3
而│A│=λ1λ2λ3=-1≠0
所以A是可逆矩阵.
（2）因为三阶矩阵A具有三个不同的特征值,所以A有三个线性无关的特征向量.所以存在一个由这三个线性无关组成的三阶可逆矩阵P,使得(P逆)AP=B,其中B为主对角线上为对应的三个特征值的对角矩阵.
第二个结论可以作为定理使用：n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A必可相似对角化.
所以取行列式：│I＋A│=0,│3I－A│=0,│I－3A│=0
所以A有三个特征值：λ1=-1,λ2=3,λ3=1/3
而│A│=λ1λ2λ3=-1≠0
所以A是可逆矩阵.
（2）因为三阶矩阵A具有三个不同的特征值,所以A有三个线性无关的特征向量.所以存在一个由这三个线性无关组成的三阶可逆矩阵P,使得(P逆)AP=B,其中B为主对角线上为对应的三个特征值的对角矩阵.
第二个结论可以作为定理使用：n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A必可相似对角化.
线性代数的问题设A是三阶矩阵,且I＋A,3I－A,I－3A均不可逆证明：（1）A是可逆矩阵（2）A与对角阵相似
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